Simulador de Composición de movimientos

Imagina que observas una barca desde un puente. El motor la hace avanzar respecto al agua, mientras la corriente mueve esa misma agua respecto a la orilla. ¿Qué velocidad tiene realmente la embarcación? La pregunta está incompleta hasta que añadimos una frase: ¿respecto a qué? El río nos obliga a distinguir referencias. Los otros experimentos nos enseñarán a combinar posiciones, velocidades y aceleraciones sin confundirlas.

En todos los casos elegimos un origen, dos ejes y un reloj común. La posición de un cuerpo en el plano se representa mediante un vector que contiene dos coordenadas; su velocidad indica cómo cambia cada una con el tiempo:

Cuando una aceleración es constante, podemos estudiar el movimiento en cada eje por separado, pero con el mismo tiempo. Si además cambiamos de observador —por ejemplo, del suelo a una camioneta— tenemos que transformar las coordenadas y las velocidades, no inventar otro movimiento.

Cómo trabajar con el simulador sin que te dé la respuesta

Selecciona uno de los cinco experimentos del panel lateral. Prepara los datos, realiza una predicción por escrito y después inicia el movimiento. La opción de mostrar una trayectoria prevista puede revelar el resultado antes de investigar: para una actividad de descubrimiento, mantenla desactivada. Usa las herramientas de vectores, ejes, gráficas y tabla de resultados cuando necesites comprobar una hipótesis, no como sustitutas del razonamiento.

Un cañón dispara en diagonal. Vemos una única trayectoria, pero para calcularla conviene hacer dos cuentas diferentes. Horizontalmente, si no hay rozamiento, no existe aceleración. Verticalmente, actúa la gravedad. El cuerpo realiza MRU en el eje x y MRUA en el eje y, ambos durante el mismo intervalo de tiempo.

La velocidad vertical disminuye a razón de g cada segundo, mientras que la horizontal permanece constante:

Si necesitas deducir la altura máxima, estudiar ángulos complementarios o resolver lanzamientos desde plataformas, ya tenemos una explicación completa y un laboratorio dedicado: simulador de tiro parabólico de AulaQuest. Aquí vamos a utilizar esas ecuaciones para responder preguntas más interesantes: ¿alcanzará un proyectil a un objeto que cae?, ¿podrá un jugador interceptarlo?, ¿qué trayectoria ve alguien que viaja en un vehículo?

El cazador ve al mono sujeto a un soporte. En el mismo instante del disparo, el mono se suelta. Nuestra primera intuición suele ser apuntar por debajo: «como va a caer, habrá que compensar esa caída». Parece lógico, pero esconde un detalle: el proyectil también cae por efecto de la gravedad desde el primer instante de vuelo.

En el escenario del simulador tomamos el disparo en (x₀,y₀), y el centro inicial del mono en (x₀+d,H). El mono no tiene velocidad horizontal en el modelo; comienza a caer desde el reposo. Las posiciones verticales son:

Ahora restamos las dos ecuaciones. No es un truco: buscamos la distancia vertical entre los cuerpos en cada instante. Y aquí aparece la clave:

¡Los términos de gravedad desaparecen! Eso significa que, en comparación con el mono, la trayectoria del proyectil no se curva por la gravedad compartida. Es el principio de movimiento relativo aplicado a dos cuerpos que experimentan la misma aceleración vertical.

Cómo obtener la dirección correcta de puntería

La línea recta que une el cazador con la posición inicial del mono forma un triángulo rectángulo: distancia horizontal d, diferencia de altura H−y₀. Por trigonometría:

La puntería automática del experimento calcula esa dirección. Para investigarlo por tu cuenta, desactívala, calcula el ángulo y comprueba después si tu lanzamiento alcanza al mono.

Vamos a hacer lo que harías en un examen. El mono comienza a 30 m horizontalmente del cazador y a 22 m sobre el suelo. El disparo sale a 1,5 m de altura con rapidez inicial de 30 m/s. Tomamos g = 9,81 m/s². Preguntamos: ¿en qué dirección debe apuntar el cazador y cuándo se cruzarían los centros de ambos cuerpos?

Paso 1 · Calculamos el desnivel inicial

Paso 2 · Obtenemos el ángulo de puntería

Paso 3 · Calculamos el tiempo para alcanzar horizontalmente al mono

El mono permanece en la misma coordenada horizontal. La pelota debe recorrer la distancia d con componente horizontal v₀cosθ:

También podemos utilizar directamente la distancia inicial en línea recta, porque apuntamos hacia el mono:

Paso 4 · Verificamos que tienen la misma altura

Los centros coinciden matemáticamente en esa posición, siempre que ninguno haya alcanzado antes el suelo. Como el mono tardaría aproximadamente 2,118 s en caer hasta él, aquí hay tiempo suficiente.

Supón que mantienes exactamente la misma dirección de puntería del ejercicio anterior, pero reduces la rapidez del disparo de 30 m/s a 10 m/s. La cancelación de las aceleraciones sigue siendo cierta. Entonces, ¿por qué puede fallar el disparo?

Porque las ecuaciones que igualan posiciones nos dicen dónde se encontrarían si pudieran continuar moviéndose indefinidamente. En el experimento real hay una frontera física: el suelo. El mono y el proyectil dejan de participar en el encuentro al alcanzarlo.

Primero: tiempo que necesita el proyectil para alcanzar la coordenada horizontal del mono

Después: tiempo de caída del mono

El mono parte del reposo vertical. Igualamos su altura a cero:

El proyectil necesitaría 3,634 s para llegar a la coordenada horizontal del mono, pero el mono ya ha tocado el suelo a los 2,118 s. Además, el proyectil puede tocar el terreno incluso antes. Apuntar correctamente es una condición geométrica; disponer de tiempo suficiente es una condición física adicional.

La pelota sale del bate y describe una parábola. En otro punto del campo, el jugador la ve venir y empieza a correr... pero no necesariamente al mismo tiempo: puede tardar unas décimas de segundo en reaccionar. Si solo calculamos dónde caerá la pelota, todavía no sabemos si podrá atraparla. El jugador debe llegar a una posición compatible con la pelota exactamente cuando esta pase a su alcance.

El modelo de AulaQuest tiene cuatro controles especialmente importantes: posición inicial del jugador, velocidad horizontal del jugador (positiva hacia la derecha, negativa hacia la izquierda), retraso de salida y altura/radio de captura. La pelota obedece al movimiento balístico ideal; el jugador se mueve horizontalmente a velocidad constante después de reaccionar.

Primero describimos la pelota

Ahora describimos al jugador

El jugador comienza en x_{j0} y permanece inmóvil durante un retraso τ. Después corre con velocidad constante u. Por tanto, antes de llegar al borde izquierdo del campo:

En esta simulación el jugador no acelera progresivamente: pasa de estar quieto a desplazarse con la velocidad elegida. Además, si corre hacia la izquierda, se detiene en el límite del campo. Son idealizaciones deliberadas para resolver ejercicios de cinemática; no un modelo biomecánico de una carrera real.

¿Qué significa exactamente «captura»?

El centro de la zona de captura se encuentra en la posición horizontal del jugador y a una altura h_c sobre el suelo. El simulador no exige que la pelota atraviese el centro exacto. Considera capturada la pelota cuando la distancia entre ambos centros es menor o igual que el radio de captura r:

Esta expresión es el teorema de Pitágoras aplicado a la separación horizontal y vertical. Si al pasar por la altura de la mano la pelota está muy lejos en horizontal, no hay captura; si pasa cerca, puede entrar en el círculo de alcance.

Vamos a diseñar nosotros las condiciones de una captura. Una pelota sale desde el suelo con 20 m/s a 45°. La zona de captura del jugador está a 1,8 m de altura. El jugador tarda 0,3 s en reaccionar y después corre hacia la derecha a 3 m/s. Queremos saber en qué posición horizontal debe comenzar para estar justo debajo de la pelota cuando esta descienda a 1,8 m.

Paso 1 · Escribimos el movimiento vertical de la pelota

En el instante que nos interesa, la pelota alcanza la altura del centro de captura:

Es una ecuación de segundo grado. Sus dos soluciones positivas corresponden a la subida y a la bajada:

Elegimos t₂ porque buscamos una captura en el descenso, cuando el jugador ya ha tenido tiempo de reaccionar. El simulador puede permitir otro encuentro si la pelota entra en la zona circular durante la subida; para este ejercicio estudiamos explícitamente la rama descendente.

Paso 2 · Hallamos dónde estará la pelota

Paso 3 · Calculamos cuánto habrá corrido el jugador

La carrera efectiva no dura t₂ segundos: comienza después del retraso. El tiempo corriendo es:

Paso 4 · Despejamos la posición inicial necesaria

Pedimos que las posiciones horizontales de los centros coincidan en ese instante:

El jugador debería empezar aproximadamente en 31,54 m. Si lo hace, después de reaccionar y correr, su centro de captura y la pelota coincidirán aproximadamente en la bajada.

En un examen no siempre te pedirán hallar una velocidad que funcione. A veces tendrás que demostrar que, con las condiciones dadas, el jugador no puede llegar. En el simulador puedes descubrirlo haciendo una comparación muy simple: cuánto necesita recorrer y cuánto puede recorrer durante el tiempo disponible.

Una vez obtenida una oportunidad de captura a tiempo t_c y posición x_b(t_c), la velocidad horizontal que permitiría la coincidencia exacta, si t_c>τ, es:

El signo es información física. Si u_necesaria es negativo, el jugador tiene que correr hacia la izquierda. Si el valor supera el intervalo de velocidades que permite el laboratorio, esa coincidencia puntual no es reproducible con el control seleccionado; una zona circular de radio no nulo todavía puede permitir una captura cercana, según sus dimensiones.

¿Y si el jugador llega al límite del campo?

El jugador de esta simulación no puede seguir indefinidamente hacia coordenadas negativas. Si corre a la izquierda, se detiene en el borde del campo. Por eso la fórmula de MRU solo vale mientras sigue desplazándose; después, su coordenada permanece constante.

Imagina que vas en una camioneta que avanza con velocidad constante. Lanzas una pelota verticalmente hacia arriba. Desde tu asiento ves que sube y baja casi por la misma línea. Sin embargo, una persona quieta junto a la carretera observa algo distinto: mientras la pelota sube y baja, también avanza horizontalmente con la velocidad que tenía la camioneta en el instante de soltarla.

¿Se contradicen ambos observadores? No. Están midiendo el mismo fenómeno desde sistemas de referencia diferentes. En la pestaña Galileo puedes elegir el observador Suelo o Vehículo sin cambiar el lanzamiento.

Definimos las coordenadas antes de transformar nada

El suelo utiliza coordenadas (x,y). La camioneta tiene una posición horizontal X(t)=X₀+ut, con u constante. El observador de la camioneta mide distancias horizontales respecto a ella, por lo que resta ese desplazamiento:

Las alturas no cambian porque el vehículo solo se desplaza horizontalmente. Si derivamos las posiciones respecto al mismo tiempo, obtenemos las velocidades:

Y como la camioneta se mueve con velocidad constante, su aceleración horizontal es cero. Por eso los dos observadores inerciales comparten la misma aceleración:

¿Qué representa la cámara de AulaQuest?

En el modo Suelo verás la camioneta moviéndose por la carretera; en el modo Vehículo, la camioneta permanece como referencia y es el paisaje el que se desplaza respecto a ella. La posición relativa de la pelota cambia de interpretación, pero no cambia la física que se está simulando.

Ahora orienta el cañón por detrás de la vertical. Si la camioneta avanza hacia la derecha, ¿tendrá necesariamente el proyectil velocidad negativa respecto al suelo? Es una de las preguntas que más ayudan a entender el movimiento relativo. La respuesta depende de la suma de velocidades, no solo de hacia dónde señala el cañón.

El laboratorio utiliza una rapidez inicial v₀′ medida respecto a la camioneta y un ángulo θ′ medido desde la horizontal positiva del escenario: 0° hacia la derecha, 90° vertical y 180° hacia la izquierda. Ese convenio no cambia si el vehículo circula en sentido contrario.

Paso 1 · Descomponemos el lanzamiento relativo

Paso 2 · Añadimos la velocidad de la camioneta

Solo la componente horizontal recibe la velocidad del vehículo, porque la camioneta no asciende ni desciende. Cuando sale la pelota, la velocidad heredada del vehículo forma parte de su velocidad respecto a tierra.

¿Y si el vehículo avanza hacia la izquierda?

El control de la camioneta admite u<0. Si, por ejemplo, u=−8 m/s y lanzas horizontalmente hacia la izquierda con θ′=180° y v₀′=15 m/s:

Ambas contribuciones apuntan hacia el mismo lado y sus módulos se suman. No hace falta inventar ángulos negativos ni invertir las fórmulas: ya tenemos signos y referencias.

Cuando lanzas una pelota verticalmente desde un vehículo que avanza de manera uniforme, puedes volver a atraparla en la misma caja. Pero si la lanzas oblicuamente hacia atrás, puede que caiga sobre la carretera y no sobre la camioneta. ¿Cómo lo decide AulaQuest?

En el modelo escolar, la boca del cañón parte de una altura de montaje fija de 1,5 m sobre la carretera. Mientras la pelota está en el aire, la camioneta continúa con velocidad horizontal constante u. Primero calculamos cuándo la pelota vuelve descendiendo a la altura de lanzamiento.

Al imponer y(t)=y₀ se obtiene t=0 y, siempre que exista velocidad vertical inicial positiva, un segundo instante:

Después comparamos las posiciones horizontales

Para el vehículo, X(t)=X₀+ut. Para la pelota, x(t)=X₀+[u+v₀′cosθ′]t. Su separación horizontal es:

¡La velocidad del vehículo se cancela! La separación entre ambos depende del lanzamiento relativo, no de lo deprisa que circula la camioneta. En el caso vertical relativo, θ′=90° y cos90°=0, por lo que la pelota vuelve sobre el centro horizontal de la caja.

La recepción real del simulador es una región, no un choque entre dibujos

AulaQuest utiliza una semianchura horizontal de 2 m alrededor del centro móvil de la caja. Considera recepción si la pelota vuelve descendiendo a la altura de la caja, en un instante posterior al lanzamiento y cumpliendo:

No se simulan golpes con los bordes de la carrocería, ni con el metal del cañón, ni colisiones tridimensionales. Los sprites representan visualmente el fenómeno; la condición física de recepción es matemática. Los lanzamientos horizontales no se contabilizan como una «captura instantánea» en t=0.

Fíjate en este contraste: el observador de tierra ve un proyectil avanzando y subiendo; el observador del vehículo puede verlo desplazarse hacia atrás. Los dos tienen razón. La forma que dibujamos depende de qué coordenada horizontal utilizamos.

Tomando el origen inicial de la camioneta en X₀, escribimos el movimiento ideal desde tierra:

Si restamos X(t)=X₀+ut, obtenemos el movimiento observado desde la camioneta:

Al eliminar el tiempo, cada referencia produce su propia ecuación de la trayectoria. Si la componente horizontal de una referencia es distinta de cero, la curva en esa referencia es parabólica. Si la componente horizontal se anula, la trayectoria aparece como una línea vertical. No es una contradicción: una parábola en una referencia puede corresponder a una recta vertical en otra.

La barca está en la orilla de salida. Orientas la proa justo hacia la orilla de enfrente, accionas el motor y esperas llegar a ese punto. Pero hay corriente. Mientras la embarcación avanza hacia la otra orilla, el agua la desplaza lateralmente. Al final no llega donde apuntaba. No ha girado la proa: se han sumado dos movimientos.

El experimento del río utiliza una vista superior. Colocamos la orilla de salida en y=0, la orilla opuesta en y=W, el eje +x hacia la derecha y el eje +y hacia la otra orilla. A diferencia de Galileo, aquí el ángulo θ se mide desde +y, es decir, desde la dirección perpendicular a las orillas. Un ángulo positivo inclina la proa hacia la derecha; uno negativo, hacia la izquierda.

Las tres velocidades que debes distinguir

En lenguaje vectorial:

Descomponemos la velocidad de la barca respecto al agua teniendo cuidado con el convenio: θ se mide desde +y, por lo que ahora el seno aparece en la componente horizontal y el coseno en la perpendicular:

Esta es la fórmula más importante de todo el experimento. El movimiento real depende de la suma, no solo del ángulo del barco ni solo de la corriente. En AulaQuest, los vectores B, C y R representan barca/agua, corriente y resultante. Puedes visualizar el pequeño triángulo vectorial sin confundirlo con una segunda embarcación.

Una embarcación puede moverse mucho hacia los lados y tardar poco en cruzar, o casi no desplazarse lateralmente y tardar más. ¿Qué variable controla el tiempo? No es la rapidez total respecto a tierra, sino la componente perpendicular a las orillas, porque lo que define el final es alcanzar y=W.

Paso 1 · Escribimos las ecuaciones de posición

Como ambas componentes de velocidad son constantes, el movimiento respecto a tierra es MRU en ambos ejes:

Paso 2 · Calculamos cuándo toca la orilla opuesta

El río tiene anchura W. El cruce termina al cumplirse y(t_c)=W:

El denominador debe ser positivo. El simulador restringe la orientación a un intervalo entre −80° y +80° y exige rapidez positiva de la barca, de modo que la componente perpendicular apunta siempre hacia la otra orilla.

Paso 3 · Averiguamos dónde llega realmente

Una vez conocido el tiempo, sustituimos en la ecuación horizontal:

Paso 4 · Separamos el arrastre de la corriente del desplazamiento total

Este detalle aparece una y otra vez en los problemas de clase. El desplazamiento causado solo por la corriente es u t_c. El desplazamiento horizontal total incluye además el movimiento lateral producido por la orientación de la barca:

Ya sabes que apuntar hacia la otra orilla no garantiza llegar enfrente. Ahora queremos conseguir exactamente eso. La tentación es probar ángulos al azar hasta que la barca llegue al punto F. Pero la simulación permite algo mejor: calcular el ángulo antes de moverla y comprobar si la física hace lo que predijiste.

La condición física: desplazamiento horizontal total nulo

Para llegar enfrente, la velocidad horizontal resultante debe ser cero durante todo el cruce. Si no se desplaza horizontalmente en ningún instante, tampoco lo hará al llegar:

Despejamos el seno del ángulo:

El signo negativo no está puesto por capricho: si la corriente va hacia la derecha (u>0), la barca debe orientar la proa hacia la izquierda (θ<0) para que ambas componentes horizontales se cancelen.

¿Siempre es posible compensar una corriente?

Una función seno nunca puede tener módulo mayor que uno. Por tanto, la ecuación anterior solo tiene solución matemática cuando:

En el límite |u|=v_b, haría falta orientar la barca a ±90°: la componente perpendicular sería cero y no lograría cruzar en un tiempo finito. Para llegar enfrente y cruzar realmente en tiempo finito se necesita |u|<v_b. Además, en AulaQuest la orientación está limitada a ±80°, así que ciertas compensaciones matemáticamente posibles pueden quedar fuera del rango permitido por el control.

Imagina dos estudiantes. El primero afirma que la mejor estrategia es apuntar perpendicularmente a las orillas. El segundo dice que lo mejor es orientar la barca contra la corriente. Los dos pueden tener razón... si persiguen objetivos distintos. Un problema de clase solo se puede resolver cuando está claro qué magnitud quieres optimizar.

Objetivo A · Minimizar el tiempo de cruce

El tiempo depende exclusivamente de la rapidez perpendicular a las orillas:

Si mantenemos constantes W y v_b y permitimos orientaciones entre −80° y +80°, el coseno alcanza su máximo en θ=0°. Por tanto:

La corriente no aparece en esa expresión porque, en el modelo ideal de AulaQuest, es horizontal: modifica la deriva, no la componente de velocidad perpendicular a las orillas.

Objetivo B · Llegar exactamente enfrente

Ahora exigimos v_x=0 y, cuando la compensación es posible dentro del rango, elegimos:

La componente perpendicular se reduce a \(v_y=\sqrt{v_b^2-u^2}\), por lo que el tiempo queda:

Cuando cambias de un escenario a otro, las fórmulas parecen multiplicarse. Pero fíjate en algo: siempre comenzamos describiendo posiciones y velocidades. Después escribimos la condición que el enunciado exige. Eso es más sólido que buscar una fórmula que contenga todos los números.

Primer paso · Identifica el modelo y el observador

¿Hay aceleración gravitatoria y un proyectil? ¿Otro cuerpo está cayendo? ¿Un jugador comienza a moverse después de un retraso? ¿Hay dos referencias inerciales? ¿El agua se mueve respecto a la orilla? No son preguntas decorativas: indican qué ecuaciones deben aparecer y qué magnitudes son constantes.

Segundo paso · Escribe primero las ecuaciones temporales

Tercer paso · Comprueba qué representa cada número

Una rapidez no es automáticamente una componente horizontal. Una coordenada terrestre no es la misma que una relativa al vehículo. La separación entre centros no es necesariamente cero cuando una captura tiene radio. Y en el río, el arrastre debido a la corriente no siempre coincide con el desplazamiento lateral total. Las unidades y las referencias son parte de la solución.