Simulador de ondas en 2D Patrones de Chladni y Lissajous
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- ✅ Que cites la fuente: AulaQuest.com
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<iframe src="https://aulaquest.com/s/fisica/Chladni/index.php"
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title="Simulador de ondas en 2D Resonancia en Placas y Lissajous"></iframe>🚀 ¿Qué es este laboratorio virtual y qué puedo hacer con él?
Estás ante un laboratorio interactivo de física acústica y geometría de ondas. Imagina una bandeja metálica llena de fina arena sobre un altavoz gigante. Cuando hacemos sonar una nota, la bandeja empieza a vibrar tan rápido que la arena salta descontrolada, pero de repente... ¡se congela formando dibujos y geometrías alucinantes! Eso es exactamente lo que simula esta pantalla.
En este simulador puedes experimentar con la física del sonido de dos formas completamente distintas:
- Bandeja de Chladni: Mira cómo miles de granos de arena se mueven en tiempo real sobre placas cuadradas o circulares para dibujar "esculturas" hechas de sonido puro.
- Osciloscopio (Lissajous): Quita la arena y la bandeja para ver la trayectoria matemática pura de un rayo láser moviéndose al ritmo de dos frecuencias enfrentadas.
- ¡Canta al simulador!: Activa el micrófono y usa tu propia voz para mover la arena y crear figuras orgánicas según cómo afines la nota.
A continuación, te explicamos paso a paso la física real que hay detrás de este fenómeno, desde lo más básico hasta las matemáticas de nivel universitario.
🧪 Tu primer experimento en 5 segundos
Entra al simulador, asegúrate de estar en la pestaña Bandeja (Chladni) y haz clic en cualquiera de las Figuras Icónicas del panel derecho (por ejemplo, "La Cruz" o "Flor de Loto"). Verás cómo las frecuencias cambian solas y la arena se reordena al instante para crear la figura.
🌊 1. ¿Qué es una Onda Estacionaria en 2D y cómo se forma en una placa?
Una onda estacionaria en dos dimensiones es el resultado de la interferencia continua entre ondas que se propagan en una superficie (como una placa elástica) y sus reflexiones en los bordes. A diferencia de una cuerda 1D donde los nodos son puntos simples, en una placa 2D las zonas de cancelación forman líneas nodales o curvas continuas.
Cuando la frecuencia de vibración coincide con una de las frecuencias naturales o modos propios de la placa, el sistema entra en resonancia:
AntinodosZonas donde la onda interfiere constructivamente. La aceleración vertical es máxima y expulsa la materia.Líneas NodalesCurvas donde la interferencia es totalmente destructiva. La superficie permanece en reposo.
🔬 Compruébalo en el Simulador
En el simulador, selecciona el modo Bandeja (Chladni) y haz clic en "PAUSAR VIBRACIÓN". Verás cómo las partículas de arena dejan de saltar. Al reanudar, observa cómo los granos son catapultados desde las zonas oscuras (antinodos) y descansan en las líneas claras (nodos).
⏳ 2. ¿Por qué la arena dibuja patrones en las Figuras de Chladni?
En 1787, el físico Ernst Chladni descubrió que al hacer vibrar una placa de metal con un arco de violín y esparcir arena sobre ella, esta formaba dibujos geométricos espectaculares. El fenómeno responde a la fuerza ejercida por la aceleración de la superficie:
La arena sufre micro-impactos en las regiones donde la amplitud de la onda es alta ($u(x,y,t) > 0$). Por fricción y gravedad, los granos de arena se desplazan aleatoriamente hasta caer atrapados en las líneas nodales, donde la amplitud de la superficie es cero ($u(x,y,t) = 0$).
⚙️ Ajusta la Densidad de Materia
En el panel inferior izquierdo, usa los botones + y - para cambiar la cantidad de arena de 500 a 8.000 partículas. Si cambias de frecuencia y la figura no se limpia bien, usa el botón 🧹 Esparcir para redistribuir la materia y ver la formación del patrón desde cero.
🎹 3. ¿Cómo afecta el Timbre (Fourier) a la forma de la onda?
El Teorema de Fourier establece que cualquier señal periódica no senoidal se puede descomponer en una suma de ondas seno puras (armónicos) con diferentes amplitudes y frecuencias múltiplos de la fundamental ($f_0$).
| Forma de Onda | Serie de Fourier (Armónicos) | Efecto Visual en la Placa |
|---|---|---|
| Seno (Pura) | Solo frecuencia fundamental ($f_0$) | Trazos limpios, contornos nítidos. Modo propio puro. |
| Triángulo | Armónicos impares decaying con $1/n^2$ | Líneas base con ligeras distorsiones simétricas. |
| Cuadrada | Armónicos impares intensos con $1/n$ | Estructura fractal. Rejillas secundarias dentro del patrón principal. |
| Sierra | Todos los armónicos (pares e impares) $1/n$ | Alta densidad nodal, laberintos vibratorios complejos. |
🎨 Cambia el Timbre en Vivo
Asegúrate de estar en el modo 🎨 EXPLORACIÓN. En el panel lateral, cambia el selector de Timbre (Fourier) de Seno a Cuadrada o Sierra. Observa cómo la figura principal se descompone en patrones secundarios por la superposición de los armónicos de orden superior.
⚛️ 4. Ecuaciones de Kirchhoff para Placas Cuadradas (Modo Rigor)
En el Modo Rigor, el simulador abandona la aproximación didáctica y resuelve la Ecuación en Derivadas Parciales (EDP) de Kirchhoff para una placa elástica delgada con bordes libres:
m, nNúmeros cuánticos enteros que representan los modos espaciales en los ejes X e Y.LDimensión física del lado de la placa ($L = 0.50 \text{ m}$).±Signo de simetría determinado por el desfase ($\Delta\phi$). El signo $+$ da simetría respecto a las diagonales, y el signo $-$ da antisimetría.
📐 Activa la Física Universitaria
En la pestaña Chladni, haz clic en el botón ⚛️ RIGOR. Observa que las frecuencias se ajustan automáticamente a múltiplos enteros de 50 Hz. Cambia el desfase de $0^\circ$ a $180^\circ$ para alternar entre la función simétrica y la antisimétrica (por ejemplo, pasa del preset "La Cruz" a "Reloj Arena").
⭕ 5. Membranas Circulares y Funciones de Bessel
Al cambiar la geometría a un disco circular de radio $R$, el sistema de coordenadas cartesianas $(x,y)$ deja de ser útil y debemos resolver la ecuación de onda en coordenadas polares $(r, \theta)$:
J_mFunción de Bessel de primera especie y orden $m$. Modula el perfil radial.\alpha_{mn}Cero orden $n$ de la derivada de la función de Bessel ($J'_m$). Determina la posición de los Anillos Nodales Radiales.mNúmero de Líneas Nodales Angulares (diámetros que dividen el círculo como porciones de pizza).
⭕ Cambia la Geometría a Circular
Haz clic en el botón ⭕ CIRCULAR en el panel lateral. Selecciona el preset Margarita o Flor de Loto. Observa los anillos concéntricos y los diámetros radiales formados por los ceros de Bessel.
📺 6. Osciloscopio Vectorial: Curvas de Lissajous (Modo X-Y)
En el modo Osciloscopio, eliminamos la masa, la arena y los bordes rígidos para aislar la trayectoria de un único punto (un haz de electrones) sometido a dos Movimientos Armónicos Simples (MAS) ortogonales entre sí:
La forma geométrica resultante depende exclusivamente de la proporción armónica ($f_x / f_y$):
- Proporción 1:1 ($300\text{Hz} / 300\text{Hz}$): Produce una línea diagonal ($\Delta\phi = 0^\circ$), una elipse o un círculo perfecto ($\Delta\phi = 90^\circ$).
- Proporción 1:2 ($100\text{Hz} / 200\text{Hz}$): Produce una figura con forma de parábola o un "8" infinito ($\infty$).
- Proporciones compuestas ($2:3$, $3:4$): Producen mallas tridimensionales, coronas y nudos.
📺 Cambia a la Pestaña Osciloscopio
Haz clic en la pestaña superior Osciloscopio (Lissajous). Selecciona el preset Silla (1:2) o Nudo (2:3). Desplaza lentamente el slider de Fase ($\Delta\phi$) y verás cómo la curva parece rotar en 3D.
🎤 7. Microfonía Interactiva con Algoritmo de Autocorrelación
El simulador incluye un motor de procesamiento de señal vocal en tiempo real. A diferencia de los analizadores simples de picos de frecuencia que se confunden con los armónicos vocales, utiliza un algoritmo de autocorrelación en el dominio del tiempo:
El algoritmo analiza el periodo fundamental ($\tau$) de tu voz para extraer la nota exacta. La frecuencia capturada controla el Eje X, mientras que una puerta de ruido (*Noise Gate*) detiene la vibración al instante cuando guardas silencio, manteniendo la arena estática y limpia.
🎤 Canta al Simulador
En la sección Generador de Señal, pulsa el botón 🎤 VOZ (MIC) y concede permisos de micrófono. Mantén una nota sostenida (por ejemplo, haz un "Aaaah" grave y luego sube a agudo). Verás cómo la arena baila y cambia de figura en respuesta a tu afinación.
📊 8. Exportación de Datos a GeoGebra 3D, Wolfram Alpha y Reportes PNG
Para conectar el trabajo de aula con el análisis matemático avanzado, el laboratorio ofrece tres vías de exportación de telemetría:
- Analizador Math (Boton ∑ MATH): Muestra la ecuación escalar exacta $u(x,y,t)$, calcula los números de onda $k_x, k_y$ y genera el código formateado para copiar en Wolfram Alpha o GeoGebra 3D.
- Exportador de Reportes (Boton 📸 CAPTURAR): Genera una imagen PNG de alta resolución procesando el canvas y adjuntando una cabecera con la telemetría del estado cuántico, ideal para entregas de prácticas de laboratorio.
- Integración mediante Presets URL: Permite a los profesores prefijar estados del laboratorio y ocultar controles mediante la URL para diseñar ejercicios de evaluación.
📊 Exporta tu Experimento
Configura cualquier figura llamativa en la bandeja, abre el modal ∑ MATH para revisar las ecuaciones y haz clic en 📸 CAPTURAR para descargar el informe técnico listo para adjuntar en tus entregas académicas.
Guía Docente Avanzada
Laboratorio Virtual de Acústica y Resonancia 2D (Chladni y Lissajous)
Olvídate de cargar con placas metálicas pesadas, altavoces que ensordecen el aula o gastar botes de arena fina. Tienes un laboratorio de investigación acústica de alta gama en tu pantalla. Con física analítica exacta, generador de tonos paneados, micrófono inteligente por autocorrelación y exportación de ecuaciones a GeoGebra 3D y Wolfram Alpha.
El Ecosistema del Laboratorio de Acústica 2D
Esta simulación integra dos instrumentos complementarios en un único motor físico de alto rendimiento.
1. Bandeja de Chladni (Resonancia 2D)
- Materia Granular: Hasta 8.000 partículas de arena con cálculo cinemático de fricción y contención física.
- Geometría Dual: Cambio instantáneo entre placa cuadrada (0.50 m) y disco circular (0.25 m).
- Escala Métrica: Regla graduada sobre el lienzo para medir directamente la longitud de onda ($\lambda$).
2. Osciloscopio Vectorial (Lissajous)
- Trayectoria X-Y Pura: Aísla el haz de electrones eliminando la masa y la gravedad de la chapa.
- Proyección 3D: Permite manipular el desfase ($\Delta\phi$) para observar la rotación espacial de la onda.
- Timbre (Fourier): Modula el trazado probando ondas Seno, Triángulo, Cuadrada y Sierra.
3. Control de Excitación y Telemetría
- Pitch Tracking por Voz: Extracción de la nota fundamental de tu voz con puerta de ruido (Noise Gate).
- Analizador LaTeX: Generador en tiempo real de la función $u(x,y,t)$ activa.
- Captura con Telemetría: Exportación de imágenes PNG con pie de foto de datos cuánticos.
✨ La Doble Filosofía Didáctica (Motores Físicos)
Puedes cambiar el "cerebro" del simulador según el nivel académico de tu grupo mediante los botones de motor:
Ideal para Secundaria y Bachillerato. Las frecuencias son continuas (decimales), permite mezclar tonos libremente y deformar las figuras mediante el desfase para despertar la intuición visual.
Ideal para Universidad. Resuelve las Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDPs) exactas de Kirchhoff y Bessel. Cuantiza frecuencias a modos enteros $(m,n)$ y filtra armónicos incompatibles.
🎯 Enfoque para Secundaria: Evitamos el formalismo matemático complejo. Nos centramos en desarrollar la intuición física: qué es una onda, cómo el sonido transporta energía pero no materia, y cómo relacionar el tono (agudo/grave) con la geometría espacial.
Objetivo: Demostrar que la materia no se acumula en las zonas de mayor vibración, sino exactamente donde la vibración se anula por completo.
- Activa la simulación con el preset "La Cruz" y deja que la arena se coloque.
- Haz clic en el botón "PAUSAR VIBRACIÓN" (la simulación se congela).
- Pulsa el botón 🧹 Esparcir para llenar toda la placa de arena uniforme.
- Diles a los alumnos: "Voy a encender el altavoz de nuevo. ¿Qué creéis que pasará?".
- Pulsa "INICIAR VIBRACIÓN" y observa la migración en tiempo real.
P: ¿Por qué la arena huye de las zonas oscuras y se junta en las líneas blancas?
R. Esperada: Las zonas oscuras (antinodos) saltan como una cama elástica. La arena sale despedida hasta caer en las líneas blancas (nodos), que están completamente quietas y no la empujan.
Objetivo: Relacionar directamente el tono del sonido (grave/agudo) con el número de divisiones o "casillas" de arena en la placa.
- Enciende el motor de audio con el botón "MOTOR DE AUDIO: ENCENDIDO" (ajusta el volumen cómodo).
- Pon Frecuencia X e Y en 100 Hz. Escucharéis un tono grave y veréis una cuadrícula grande de pocas casillas.
- Arrastra los sliders poco a poco hasta 500 Hz. El sonido se volverá agudo y la arena se multiplicará en mini-cuadros.
P: ¿Cuándo es el dibujo más complejo y pequeño: con sonidos graves o agudos?
R. Esperada: Con los sonidos agudos. Cuanto más agudo es el sonido, más rápido vibra la placa y más "arrugas" (nodos) entran en el mismo espacio.
Objetivo: Usar la voz humana como fuente de vibración directa y ver cómo las imperfecciones del canto crean figuras vivas.
- Selecciona el modo 🎤 VOZ (MIC). La placa se resetea a cero (arena virgen).
- Saca a un voluntario al frente o canta tú mismo frente al micro del portátil un "Aaaaaah" sostenido.
- Haz un glissando: empieza muy grave y ve subiendo progresivamente a agudo.
- Calla de golpe. La arena se detendrá en seco conservando la última forma.
P: ¿Por qué la figura gira o tiembla un poco aunque intentemos cantar la misma nota fija?
R. Esperada: La voz humana nunca es un tono 100% perfecto. El aire que soltamos altera ligeramente la fase de la onda, haciendo que la figura de arena "respire".
Objetivo: Descubrir que las ondas rebotan de forma distinta según los bordes del objeto, creando rejillas o flores.
- Pon la placa en ⬜ CUADRADA con el preset "Ojos de Búho" ($150\text{Hz} / 250\text{Hz}$). Observaréis líneas rectas y rectángulos.
- Sin cambiar la frecuencia, haz clic en el botón ⭕ CIRCULAR.
- Veréis cómo la arena se reorganiza sola formando anillos concéntricos y pétalos ("Margarita").
P: Si la vibración del sonido es la misma, ¿por qué cambia tanto el dibujo al cambiar de cuadrado a círculo?
R. Esperada: Porque las ondas rebotan en las paredes. En un cuadrado los ecos rebotan rectos; en un círculo rebotan hacia el centro creando anillos.
🎯 Enfoque para Bachillerato: Nivel cuantitativo y experimental. Los alumnos miden magnitudes reales sobre el lienzo ($\lambda$ en cm), aplican la ecuación de onda $v = \lambda \cdot f$, analizan paramétricamente las curvas de Lissajous y comprueban la superposición de armónicos de Fourier.
Objetivo: Medir experimentalmente la longitud de onda ($\lambda$) sobre la retícula graduada y calcular la velocidad de propagación de la onda en el metal simulado.
- Activa el Modo Rigor y ajusta $f_x = 200\text{ Hz}$ y $f_y = 200\text{ Hz}$.
- Observa la regla métrica graduada sobre los ejes del lienzo ($L = 50\text{ cm}$, de $-25\text{ cm}$ a $+25\text{ cm}$).
- Mide la distancia en centímetros entre dos líneas nodales de arena consecutivas y paralelas ($\Delta x$).
- Sabiendo que la distancia entre dos nodos consecutivos es $\Delta x = \lambda / 2$, calcula $\lambda$ en metros.
- Calcula la velocidad con la fórmula $v = \lambda \cdot f$.
P: ¿Qué distancia hay entre nodos y cuál es la velocidad calculada?
• Longitud de onda ($\lambda$) = 2 · 0.125 m = 0.25 m
• Velocidad ($v$) = 0.25 m · 200 Hz = 50 m/s
Objetivo: Aprender a deducir la relación de frecuencias ($f_x / f_y$) contando los puntos de tangencia de la figura geométrica con los bordes del osciloscopio, y utilizar esta técnica para descubrir nuevos patrones visuales.
- Comprende la regla: Configura $f_x = 150\text{ Hz}$ y $f_y = 200\text{ Hz}$. Ajusta el desfase a $\Delta\phi = 0^\circ$ para abrir bien la figura.
- Cuenta las crestas que tocan el borde superior ($N_x$) y las que tocan el borde lateral derecho ($N_y$).
- Comprueba la regla fundamental: $\frac{f_x}{f_y} = \frac{N_y}{N_x}$.
- ¡Modo Exploración!: Ahora tienes vía libre. Cambia las frecuencias de ambos canales para buscar las 3 figuras más complejas y estéticas que puedas crear (que sean estables).
- Anota sus frecuencias y demuestra, contando sus picos, que la regla de tangentes se sigue cumpliendo.
P: ¿Se cumple la regla siempre?
• Figura "Malla Mágica" (Ejemplo guapo): f_x = 500 Hz, f_y = 700 Hz.
• Verificación de la malla: Picos laterales = 5, Picos superiores = 7. Razón: 5/7.
• *Nota: Solo funciona si la fracción entre ambas frecuencias es un número racional.*
Objetivo: Demostrar analíticamente cómo varía la trayectoria de dos MAS ortogonales de igual frecuencia al modificar la diferencia de fase ($\Delta\phi$).
- Fija ambas frecuencias a $300\text{ Hz}$.
- Pon el desfase en $\Delta\phi = 0^\circ$. Observa la recta diagonal $y = -x$.
- Lleva el desfase a $\Delta\phi = 90^\circ$ ($\pi / 2\text{ rad}$). La figura se convierte en un círculo perfecto.
- Aumenta el desfase a $\Delta\phi = 180^\circ$ ($\pi\text{ rad}$). La figura vuelve a ser una recta diagonal opuesta ($y = x$).
P: Demuestra por qué para $\Delta\phi = 90^\circ$ la trayectoria es una circunferencia.
• x(t) = A · sin(ωt)
• y(t) = A · sin(ωt + π/2) = A · cos(ωt)
Elevando al cuadrado y sumando:
• x² + y² = A²(sin²(ωt) + cos²(ωt)) = A²
¡Es la ecuación cartesiana de una circunferencia de radio A!
Objetivo: Identificar los armónicos superiores que componen un timbre complejo (Teorema de Fourier) observando las sub-rejillas fractales en la arena.
- Fija $f_x = 100\text{ Hz}$ y $f_y = 100\text{ Hz}$ en modo Seno. Observa la cruz limpia ($m=2, n=2$).
- Cambia el selector de Timbre (Fourier) a 🟧 Cuadrada.
- Observa cómo sobre la cruz principal aparecen finas "sub-cuadrículas" de arena.
- Calcula las frecuencias de los armónicos impares que el motor está inyectando en la placa.
P: ¿Qué frecuencias armónicas están haciendo temblar la chapa a la vez?
f(t) = (4/π) · [ sin(ω₀t) + (1/3)sin(3ω₀t) + (1/5)sin(5ω₀t) + ... ]
• Fundamental (f₀) = 100 Hz (amplitud 1)
• 3ᵉr Armónico (3f₀) = 300 Hz (amplitud 1/3)
• 5º Armónico (5f₀) = 500 Hz (amplitud 1/5)
• 7º Armónico (7f₀) = 700 Hz (amplitud 1/7)
Ecuaciones en Derivadas Parciales: Métodos de Separación de Variables
Analizamos cómo la geometría de la frontera (cuadrada o circular) impone condiciones de contorno que fuerzan la cuantización de los modos propios y la formación de líneas nodales.
💡 Intuición Física: ¿De dónde salen las Figuras de Chladni?
Cuando hacemos vibrar la chapa, el desplazamiento vertical $u(x,y,t)$ satisface una ecuación de onda espacial. Supongamos que la solución es separable en espacio y tiempo:
La función espacial $W(x,y)$ define la forma de la placa vibrante. Las líneas nodales que dibuja la arena son simplemente los puntos del plano donde el desplazamiento es nulo en todo instante de tiempo:
Dependiendo de si resolvemos en coordenadas cartesianas $(x,y)$ o polares $(r,\theta)$, la función $W$ dará lugar a productos de cosenos (placa cuadrada) o a funciones de Bessel (placa circular).
Concepto: En una placa cuadrada de lado $L = 0.50\text{ m}$, el modo $(m,n)$ y el modo $(n,m)$ tienen la misma frecuencia (degeneración). La solución general es una combinación lineal de ambos:
- Activa el modo ⚛️ RIGOR y selecciona la placa ⬜ CUADRADA.
- Ajusta $f_x = 100\text{ Hz}$ ($m = 2$) y $f_y = 200\text{ Hz}$ ($n = 4$).
- Pon el Desfase en $0^\circ$ (coeficiente $c = +1$, combinación simétrica). Carga el preset "Sello Imperial".
- Cambia el Desfase a $180^\circ$ (coeficiente $c = -1$, combinación antisimétrica).
- Abre el modal ∑ MATH para ver cómo cambia el signo en la ecuación de la pantalla.
Al cambiar el desfase de $0^\circ$ a $180^\circ$, la ecuación cambia de signo. Para $c = -1$ (antisimétrico):
• Conclusión: Las diagonales principales ($x = y$ y $x = -y$) son SIEMPRE líneas nodales en el modo antisimétrico. ¡Compruébalo en la arena!
Explicación Teórica: Así como las ondas rectas usan la función Coseno $\cos(x)$ para encontrar sus ceros (en $\pi/2, 3\pi/2...$), las ondas circulares usan la Función de Bessel de primer tipo $J_0(x)$.
Los puntos donde $J_0(x) = 0$ se conocen como Ceros de Bessel. Son constantes matemáticas universales (como el número $\pi$) encontradas en tablas científicas:
- Cambia la geometría de la placa a ⭕ CIRCULAR (Radio visual $R = 25\text{ cm}$).
- Carga el preset "Ondas Agua" ($f_x = 20\text{ Hz}, f_y = 150\text{ Hz} \implies m=0, n=3$).
- Verás que la arena forma 3 anillos concéntricos alrededor del centro ($r=0$).
- Usa la regla graduada en centímetros del lienzo para medir la distancia desde el centro hasta el borde de cada anillo de arena:
• Radio del Anillo 1 ($r_1$) $\approx 6.3\text{ cm}$
• Radio del Anillo 2 ($r_2$) $\approx 14.5\text{ cm}$ - Calcula el cociente experimental entre los dos anillos: $r_2 / r_1 = 14.5 / 6.3 = \mathbf{2.30}$.
- Compara tu medición con la constante matemática pura de los ceros de Bessel: $x_2 / x_1 = 5.5201 / 2.4048 = \mathbf{2.295}$.
¡El experimento virtual y la matemática pura coinciden con un error menor al 0.3%! Los alumnos demuestran que la arena no se coloca al azar: obedece de forma estricta a la geometría de las Funciones de Bessel.
La solución matemática completa incluye a $Y_m(x)$ (segunda especie). Pero la función $Y_m(x) \to -\infty$ cuando $r \to 0$. Como el centro del plato no sufre una amplitud infinita, eliminamos $Y_m(x)$ por simple condición física de frontera.
Objetivo: Conectar la física de partículas del simulador con el renderizado analítico tridimensional en software de matemáticas.
- Configura una figura compleja en el simulador (por ejemplo, el preset "Nudo Mandala").
- Haz clic en el botón ∑ MATH del menú superior de la simulación.
- Copia el texto del cuadro sombreado bajo "Exportar a Wolfram Alpha / GeoGebra 3D".
- Abre GeoGebra 3D Calculator y pega el código en la barra de entrada $z = f(x,y)$.
- Genera el plano $z = 0$. La curva donde la superficie interseca el plano es la línea nodal teórica.
Pulsa el botón 📸 CAPTURAR. El simulador generará una imagen de alta resolución que incluye en el pie de foto:
- Modos de vibración $(m,n)$ y geometría del lienzo.
- Frecuencias angulares $\omega_x, \omega_y$ calculadas en $\text{rad/s}$.
- Vector de onda $k_x, k_y$ expresados en $\text{m}^{-1}$.
- La función escalar $u(x,y,t)$ renderizada en código exacto.
Objetivo: Estudiar la trayectoria paramétrica $x(t) = A\sin(\omega_x t)$, $y(t) = A\sin(\omega_y t + \Delta\phi)$ como una proyección 2D de una curva fija en un espacio tridimensional.
- Pasa a la pestaña Osciloscopio (Lissajous).
- Selecciona la relación $2:3$ ($f_x = 200\text{ Hz}, f_y = 300\text{ Hz}$).
- Aumenta progresivamente el Desfase ($\Delta\phi$) de $0^\circ$ a $360^\circ$.
- Observa cómo la figura no se deforma ni cambia de tamaño, sino que parece realizar un giro tridimensional sobre su eje.
• Mover el deslizador de Desfase ($\Delta\phi$) equivale a hacer rotar dicho cilindro alrededor de su eje de simetría.
• Por eso, la curva 2D parece "girar en 3D" en la pantalla del osciloscopio.
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Proyecta el laboratorio en la pantalla del aula, activa el micrófono y deja que el sonido se convierta en geometría ante tus alumnos.
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