Simulador de Sistemas de Ecuaciones 2x2

🧮 Domina los sistemas 2×2 con claridad (y sin fórmulas de más)

Resolver sistemas de ecuaciones ya no será un dolor de cabeza. Con este simulador puedes probar los tres métodos clásicos —sustitución, igualación y reducción— y ver cómo se representan gráficamente las rectas hasta encontrar el punto donde se cruzan.
Ideal para repasar antes de un examen, reforzar lo aprendido en clase o simplemente quitarte el miedo a las ecuaciones con dos incógnitas.

📋 Detalles de la simulación

  • 📂 Categoría: Álgebra
  • 🎓 Nivel educativo: ESO
  • ⚙️ Dificultad: Media
  • 📈 N.º de veces usada: 79
Nivel educativo ESO
Dificultad Media (4/10)
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Sistemas de Ecuaciones 2x2: Guía Completa de Métodos de Solución

Hola estudiantes de Aula Quest. Hoy vamos a meternos a fondo con algo súper útil: los sistemas de ecuaciones lineales 2x2.
Eso es. Vamos a ver los cuatro métodos clásicos: Sustitución, Igualación, Reducción y el Gráfico.
La idea no es solo aprender los pasos, sino pillar por qué funciona cada uno, ¿verdad?
Exacto. A ver, un sistema 2x2, para que todo el mundo lo tenga claro, son dos ecuaciones. Lineales, importante, o sea, con $x$ e $y$ sin exponentes raros, elevados a 1. Y dos incógnitas, claro, la $x$ y la $y$.
Vale. Y lo que buscamos es el par de números, un valor para $x$ y otro para $y$, que hagan que las dos ecuaciones sean verdad, a la vez.
Perfecto. Pues para que sea más fácil seguirlo, vamos a usar un sistema de ejemplo todo el rato. ¿Qué tal? $$ x + y = 4 $$ Y la segunda: $$ x - y = 2 $$
Ya, bueno, haciendo una comprobación rápida sabemos que la solución va a ser $x=3$ e $y=1$.
Efectivamente, porque $3+1=4$ y $3-1=2$. Funcionan las dos.
Genial. Pues vamos a ver cómo llegamos a ese $x=3$ e $y=1$ con el primer método. Empezamos por Sustitución.
Venga. Pues, eh, la sustitución, como dice el nombre, va de sustituir. Coges una ecuación, la que te parezca más fácil, y despejas una de las incógnitas.
A ver, en $x+y=4$ podríamos despejar la $x$, por ejemplo.
Sí, y quedaría $x=4-y$. Fácil, ¿no?
Sí, sencillo.
Vale, pues ahora esta expresión, $4-y$, que es igual a $x$, la metemos en la otra ecuación. En la de $x-y=2$.
Justo. Donde pone $x$, ponemos $4-y$. Así que tenemos: $4-y-y=2$.
¡Ah! Y ahora solo hay $y$. Ya está casi.
Eso es. Operamos: $4-y-y$, pues $4-2y=2$.
Vale. Ahora, números a un lado, incógnitas al otro. El 4 pasa restando: $-2y = 2-4$, que es $-2$.
$-2y = -2$. Dividimos por $-2$ y, ¡tachán!, $y=1$.
Ya tenemos la $y$. Y para la $x$, volvemos a donde la despejamos. $x = 4-y$. Como $y=1$, pues $x=4-1$. $x=3$. Lo tenemos. $x=3$, $y=1$, primer método listo.
Exacto. Vale, pues ahora, Igualación. Con el mismo sistema: $x+y=4$, $x-y=2$. ¿Cómo va este?
Pues este tiene una simetría bonita. Aquí despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones.
Ah, vale. En la primera ya teníamos $x=4-y$.
Sí. Y en la segunda, $x-y=2$, si despejamos la $x$, pasamos la $y$ sumando: $x=2+y$.
Entendido. $x=4-y$ y también $x=2+y$.
Y ahora viene la igualación. Si $x$ es igual a una cosa y también es igual a otra, pues esas dos cosas tienen que ser iguales entre sí.
Claro, tiene sentido.
Entonces, $4-y$ es igual a $2+y$.
Exacto. Y otra vez, una ecuación con solo $y$. Agrupamos, pasamos la $y$ de la izquierda sumando a la derecha, y el 2 de la derecha restando a la izquierda.
Quedaría $4-2 = y+y$. O sea, $2 = 2y$.
Dividimos entre 2, y es $y=1$ otra vez.
Como debe ser. Y la $x$, igual que antes. Sustituyendo en $x=4-y$, nos da $x=3$. Mismo resultado, otro camino.
Muy bien, me va quedando claro. Ahora, el que a veces parece un poco más... mmm, no sé, ¿abstracto? La Reducción.
Sí, a veces parece magia, pero es pura lógica. La idea aquí es preparar las ecuaciones, si hace falta multiplicándolas por algún número, para que al sumarlas o restarlas, una de las incógnitas desaparezca.
Y en nuestro $x+y=4$, $x-y=2$, ¿hay que multiplicar?
Pues mira qué bien, en este caso concreto no hace falta. Fíjate en la $y$. En la primera ecuación está como $+y$ (coeficiente $+1$) y en la segunda como $-y$ (coeficiente $-1$).
¡Ostras, es verdad! Son opuestos.
Exacto. Así que si sumamos las dos ecuaciones, tal cual están, miembro a miembro...
A ver... $x+x + y+(-y)$, eso es $y-y$, igual a $4+2$.
Perfecto. $x+x$ es $2x$. $y-y$ es 0. Y $4+2$ es 6. Nos queda $2x=6$.
Directo. Dividimos entre 2 y $x=3$. ¡Rapidísimo!
¡Wow! Sí que ha sido rápido.
Y ahora, con $x=3$, vamos a la primera ecuación, por ejemplo. $3+y=4$. Pues $y=4-3$. $y=1$.
Impresionante. Para este sistema, la reducción ha sido la más directa.
Sí, cuando los coeficientes ya están así preparados, es muy eficiente.
Vale. Y nos queda el último método: el Gráfico. Aquí entra el plano cartesiano, ¿no?
Efectivamente. Cada ecuación lineal de dos incógnitas representa una recta en el plano. La solución del sistema es simplemente el punto donde esas dos rectas se cortan.
Entiendo. Para dibujarlas, lo mejor es ponerlas en la forma $y = mx+n$, ¿verdad? La forma explícita.
Eso es, despejar la $y$. En $x+y=4$, si despejamos la $y$, queda $y=-x+4$.
Vale, esa es una recta.
Y en la otra, $x-y=2$, despejamos: $-y = 2-x$. Cambiamos los signos a todo para tener la $y$ positiva. $y = -2+x$, o sea, $y=x-2$.
Exacto. Tenemos las dos rectas: $y=-x+4$ e $y=x-2$. Si ahora se dibujan estas dos rectas...
El punto donde se crucen será la solución, $(3,1)$.
Justo. Y esto la gente de Aula Quest lo puede ver muy bien en la simulación que tienen al lado. Meten las ecuaciones y ven el punto de corte.
Genial. Pero ojo, esto nos lleva a pensar, ¿siempre se cortan las rectas en un único punto?
Mmm, buena pregunta. Supongo que no. ¿Qué pasa si son paralelas?
Exacto. Si al despejar la $y$ nos encontramos con dos rectas que tienen la misma pendiente (el número que multiplica a la $x$, la $m$) pero distinta ordenada en el origen (el número suelto, la $n$), son paralelas.
Como $y=2x+3$ e $y=2x+5$. Misma inclinación, pero una empieza más arriba que la otra.
Eso es. Nunca se cortan. El sistema no tiene solución. Se dice que es incompatible.
Vale, paralelas, sin solución. ¿Y hay otra posibilidad?
Sí, que al despejar la $y$, nos quede exactamente la misma ecuación en ambos casos.
¿Cómo? Por ejemplo...
Imagina que una ecuación es $y=-x+4$ y la otra, tras simplificarla, también es $y=-x+4$. O que da $2y=-2x+8$, que es la misma.
Ah, vale. Es la misma recta dibujada una encima de la otra.
Exacto. Son rectas coincidentes. Todos sus puntos son comunes. El sistema tiene infinitas soluciones. Se llama compatible indeterminado.
Entendido. O se cortan en un punto (solución única), o son paralelas (sin solución), o son la misma recta (infinitas soluciones).
Esas son las tres posibilidades.
Bueno, pues hemos visto cuatro maneras de atacar el mismo problema: sustitución, igualación, reducción y el método gráfico. Cada uno con su enfoque.
Lo importante, de verdad, es entender el porqué de cada paso. ¿Por qué igualamos? ¿Por qué funciona la reducción? Más que memorizar, es pillar la lógica. Y animo a la gente a que juegue con la simulación, que pruebe otros sistemas, que compruebe.
Una pequeña reflexión. Hemos visto que para nuestro sistema $x+y=4$, $x-y=2$, la reducción fue súper rápida. ¿Qué pistas nos pueden dar las ecuaciones solo mirándolas para intuir qué método puede ser el más eficiente? ¿Cómo elegir la mejor estrategia sin empezar a calcular a lo loco? Ahí lo dejo.

🧩 Sistemas de ecuaciones 2×2

Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas es un conjunto de dos ecuaciones donde las variables (normalmente llamadas $x$ e $y$) están elevadas solo a la potencia 1, es decir, son lineales.

$$ \begin{cases} a \cdot x + b \cdot y = c \\ d \cdot x + e \cdot y = f \end{cases} $$

Los coeficientes $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ y $f$ pueden ser enteros, decimales o fracciones. Nuestro objetivo es encontrar los valores de $x$ e $y$ que hacen que ambas ecuaciones se cumplan a la vez.

✅ ¿Qué significa resolver un sistema?

Resolver un sistema es encontrar los valores que cumplen simultáneamente las dos ecuaciones. No basta con que una pareja funcione en una sola ecuación: tiene que funcionar en las dos.

Por ejemplo, el sistema siguiente:

$$ \begin{cases} x + y = 4 \\ x - y = 2 \end{cases} $$

tiene solución $x = 3$, $y = 1$, porque al sustituir en ambas ecuaciones se cumple.

➡️ Puedes introducir este sistema en el simulador para comprobarlo. Luego, cambia los coeficientes y observa cómo cambia el resultado.

🔄 Método de sustitución

Este método se basa en despejar una variable en una de las ecuaciones y sustituir esa expresión en la otra ecuación.

Ejemplo:

$$ \begin{cases} x = 4 - y \\ 2x + y = 7 \end{cases} $$

Sustituimos $x = 4 - y$ en la segunda ecuación:

$$ 2(4 - y) + y = 7 $$

Resolvemos paso a paso:

  • $2 \cdot 4 = 8$
  • $2 \cdot (-y) = -2y$
  • $8 - 2y + y = 7$
  • $8 - y = 7$
  • $-y = -1 \Rightarrow y = 1$

Ahora sustituimos $y = 1$ en $x = 4 - y$:

$x = 4 - 1 = 3$

Solución: $x = 3$, $y = 1$

➡️ Usa el modo de sustitución en el simulador. Introduce las ecuaciones y verifica si los pasos coinciden con los tuyos.

⚖️ Método de igualación

En este método, despejamos la misma variable en ambas ecuaciones y después igualamos las expresiones obtenidas.

Ejemplo:

$$ \begin{cases} x = 2y + 1 \\ x = -y + 4 \end{cases} $$

Como ambas expresiones son iguales a $x$, las igualamos entre sí:

$$ 2y + 1 = -y + 4 $$

Resolviendo paso a paso:

  • $2y + y = 3y$
  • $4 - 1 = 3$
  • $3y = 3 \Rightarrow y = 1$

Ahora sustituimos en una de las ecuaciones:

$x = 2(1) + 1 = 3$

Solución: $x = 3$, $y = 1$

➡️ Prueba este sistema en el simulador con el método de igualación. Luego, cambia los coeficientes y vuelve a intentarlo.

🔁 Método de reducción

Este método consiste en eliminar una de las variables combinando las dos ecuaciones. Pero antes hay que prepararlas multiplicando por los coeficientes adecuados. Importante: si multiplicas una ecuación, lo haces en ambos miembros.

Ejemplo:

$$ \begin{cases} 3x + 2y = 16 \\ 2x - y = 1 \end{cases} $$

Queremos eliminar la $x$, así que multiplicamos para igualar sus coeficientes:

$$ \begin{cases} (3x + 2y) \cdot 2 = 6x + 4y = 32 \\ (2x - y) \cdot 3 = 6x - 3y = 3 \end{cases} $$

Ahora restamos las ecuaciones:

$$ (6x + 4y) - (6x - 3y) = 7y = 29 $$

Resolvemos:

$$ y = \frac{29}{7} $$

Y sustituimos en una ecuación original:

$$ 2x - \frac{29}{7} = 1 \Rightarrow x = \frac{18}{7} $$

Solución: $x = \frac{18}{7}$, $y = \frac{29}{7}$

➡️ Introdúcelo en el simulador, elige el método de reducción y comprueba los pasos. ¿Coinciden con los tuyos?

📈 Método gráfico

Para resolver gráficamente, transformamos cada ecuación a la forma explícita $y = mx + n$, donde:

  • $m$ es la pendiente: indica cuánto sube o baja la recta por cada paso en $x$.
  • $n$ es la ordenada en el origen: es decir, el punto donde la recta corta el eje $y$.

Ejemplo:

$$ \begin{cases} 2x + y = 4 \\ x - y = 1 \end{cases} $$

Despejamos $y$ en ambas ecuaciones:

  • Primera: $y = -2x + 4$
  • Segunda: $y = x - 1$

Ahora podemos dibujar ambas rectas en el plano y buscar su punto de corte. Ese punto es la solución del sistema.

➡️ Usa el modo gráfico del simulador. Introduce las dos ecuaciones y observa el cruce de las rectas. ¿Qué pasa si modificas un coeficiente?

🔍 Casos especiales

1. Rectas paralelas → Sistema incompatible

Si las rectas nunca se cruzan, es que el sistema no tiene solución. Son rectas con la misma pendiente pero distinta ordenada en el origen.

Ejemplo: $y = 2x + 1$ y $y = 2x - 3$

➡️ Pruébalo en el simulador. ¿Qué ves en la gráfica?

2. Rectas coincidentes → Sistema compatible indeterminado

Si las rectas se superponen por completo, es porque representan la misma ecuación. Entonces hay infinitas soluciones: todos los puntos de la recta valen.

Ejemplo: $2x + y = 4$ y $4x + 2y = 8$ (la segunda es el doble de la primera)

➡️ Introdúcelo en el simulador gráfico. ¿Se superponen las rectas?

🧠 Conclusión

El método de reducción te obliga a pensar con estrategia y operar con precisión. El gráfico te da una visión visual clara del sistema. Y el simulador te permite experimentar, corregir y aprender con libertad.

Ahora ya sabes identificar no solo la solución de un sistema, sino también cuándo no tiene solución o tiene infinitas. ¡Ese ojo matemático lo vas entrenando cada vez más!

🎯 ¿Listo para cazar soluciones con precisión matemática? Elige tu Misión

Ya has probado cómo se comporta un sistema 2×2 cuando cambias los coeficientes, has visto cómo se cruzan (o no) las rectas en el gráfico, y has experimentado con los distintos métodos: sustitución, igualación, reducción... y de manera gráfica.

Ahora es el momento de aplicar lo aprendido y ponerte en modo explorador. Lo que te proponemos a continuación no son ejercicios cerrados, sino misiones de laboratorio donde tendrás que probar, deducir, justificar y enviar tus conclusiones.

Puedes resolverlas de forma individual, por parejas o en grupo. Elige los retos que tengan más sentido para tu clase: según el nivel, el tiempo disponible o el enfoque que queráis trabajar.

Ve tocando, cambiando y observando. Luego, cuando lo tengas claro, escribe tus respuestas y envíalas a tu profe desde aquí mismo.

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