Un disco gira con una velocidad angular constante de 8π rad/s.

Introducción

¡Vaya pregunta interesante! Imagina un disco girando de manera constante con una velocidad angular. Este problema nos lleva al mundo del movimiento circular, donde aprenderemos a calcular cuánta distancia angular recorre el disco, y cuántas vueltas completas da en un tiempo dado. ¡Manos a la obra!

Solución paso a paso

a) ¿Qué ángulo recorre en 25 segundos?

Cuando algo gira con una velocidad angular constante, su posición angular cambia de forma predecible con el tiempo. La fórmula básica que usamos es:

θ = ω × t

Donde:

– θ es el ángulo recorrido, en radianes (rad).

– ω (leída «omega») es la velocidad angular, en radianes por segundo (rad/s).

– t es el tiempo durante el cual se mueve, en segundos (s).

En nuestro caso:

ω = 8π rad/s

t = 25 s

Sustituyamos estos valores en la fórmula:

θ = (8π rad/s) × (25 s)

Primero hacemos la multiplicación numérica (sin preocuparnos aún por las unidades):

θ = 200π rad

El ángulo recorrido en 25 segundos es:

θ = 200π radianos.

Ahora, podríamos detenernos aquí, pero a veces interesa convertir esto en grados, ya que mucha gente entiende mejor esa medida. Para convertir radianes a grados, recordemos que:

1 radian = 180/π grados.

Por tanto:

θ = 200π × (180/π) grados

θ = 200 × 180 grados

θ = 36000 grados.

¡El disco recorre un ángulo de 200π radianes o 36000 grados en 25 segundos!

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b) ¿Cuántas vueltas completas da en ese tiempo?

Sabemos que una vuelta completa equivale a recorrer 2π radianes (el equivalente a 360 grados). Para calcular cuántas vueltas completas da el disco, dividimos el ángulo total θ entre 2π:

Vueltas = θ / (2π)

Sustituyendo el valor de θ que ya calculamos:

Vueltas = 200π rad / 2π rad

Cancelamos π (porque aparece en el numerador y denominador), y nos queda:

Vueltas = 200 / 2

Vueltas = 100.

Por lo tanto:

El disco da 100 vueltas completas en 25 segundos.

Consejos del profe: errores comunes y cómo evitarlos

1. Olvidar las unidades: En problemas como este, es vital que todas las unidades sean consistentes. Por ejemplo, aquí usamos rad/s para velocidad angular y segundos para tiempo. Si t estuviera en minutos o ω en grados/s, habría que convertir las unidades antes de operar. No hacerlo es un error frecuente.

2. Confundir radianes con grados: Cuando usamos radianes, el cálculo es más directo porque las fórmulas están diseñadas para esta unidad. Sin embargo, si conviertes a grados innecesariamente antes de terminar un cálculo, es más probable cometer errores. Trabaja en radianes hasta el final, y convierte a grados solo si se pide explícitamente.

3. No identificar cuándo el ángulo recorre vueltas completas: A veces los estudiantes calculan el ángulo pero se olvidan de dividir entre 2π para pasar a vueltas completas. Recuerda que cada vuelta es 2π radianes.

4. Descuido al simplificar: Cuando cancelamos π o unidades como los rad, es importante hacerlo con cuidado. Por ejemplo, si π aparece en el numerador y denominador, verifica que realmente desaparezca correctamente.

Para practicar, intenta resolver este ejercicio con diferentes valores de tiempo y velocidad angular. ¿Qué pasa si t fuera 10 segundos o si ω fuera distinta? Probar diferentes combinaciones te ayudará a dominarlo aún más.

¡Espero que esta explicación haya hecho brillar esa chispa de comprensión que te hará ver los movimientos circulares como algo mucho más sencillo!