La velocidad angular de un disco disminuye uniformemente de 700 rpm a 500 rpm

Solución numérica:

La aceleración angular es de aproximadamente
\[
\boxed{-2.99 \, \text{rad/s}^2}
\]

El disco da aproximadamente
\[
\boxed{70 \text{ vueltas}} \quad \text{en esos 7 segundos.}
\]

Tardará
\[
\boxed{17.51 \, \text{segundos}}
\]
en detenerse completamente.

Solución paso a paso

Imagina que tienes delante un disco girando. Podría ser un tocadiscos, una rueda, un motor… Al principio gira bastante rápido: 700 rpm. Pero algo lo está frenando, quizá el motor se ha apagado. Después de 7 segundos, su velocidad angular baja a 500 rpm. Vamos a investigar qué está pasando ahí dentro.

🔁 Paso 1: Convertimos unidades al Sistema Internacional (SI)

En física, trabajar con rpm (revoluciones por minuto) es como hablar en otro idioma. Necesitamos traducir esas unidades a radianes por segundo, que es el idioma del Sistema Internacional.

Sabemos que:

– \( 1 \text{ vuelta} = 2\pi \text{ rad} \)
– \( 1 \text{ min} = 60 \text{ s} \)

Así que:

\[
\omega_i = 700 \, \text{rpm} = 700 \cdot \frac{2\pi}{60} = \frac{1400\pi}{60} \approx 73.30 \, \text{rad/s}
\]

\[
\omega_f = 500 \, \text{rpm} = 500 \cdot \frac{2\pi}{60} = \frac{1000\pi}{60} \approx 52.36 \, \text{rad/s}
\]

Y el tiempo que tarda en reducirse esa velocidad angular es:

\[
t = 7 \, \text{s}
\]

 

🅰️ a) ¿Cuál es su aceleración angular?

[bloquear]

La aceleración angular (representada como \( \alpha \)) nos dice cómo cambia la velocidad angular con el tiempo. Si está disminuyendo, como en este caso, será negativa.

La fórmula es:

\[
\alpha = \frac{\omega_f – \omega_i}{t}
\]

Sustituimos:

\[
\alpha = \frac{52.36 – 73.30}{7} = \frac{-20.94}{7} \approx -2.99 \, \text{rad/s}^2
\]

📌 Respuesta a)
La aceleración angular es de aproximadamente
\[
\boxed{-2.99 \, \text{rad/s}^2}
\]

Este valor negativo nos dice que el disco está frenando.

🔄 b) ¿Cuántas vueltas da en ese tiempo?

Ahora nos preguntamos: mientras el disco se va frenando… ¿cuántas vueltas completas da?

Aquí vamos a usar otra fórmula de movimiento angular uniformemente acelerado:

\[
\theta = \omega_i \cdot t + \frac{1}{2} \alpha t^2
\]

Donde:
– \( \theta \) es el ángulo girado en radianes.
– \( \omega_i \): velocidad angular inicial.
– \( \alpha \): aceleración angular.
– \( t \): tiempo.

Sustituimos los valores:

\[
\theta = 73.30 \cdot 7 + \frac{1}{2} \cdot (-2.99) \cdot 7^2
\]

\[
\theta = 513.1 + \frac{1}{2} \cdot (-2.99) \cdot 49 = 513.1 – 73.27 \approx 439.83 \, \text{rad}
\]

Pero ojo, la pregunta es: ¿cuántas vueltas dio?
Sabemos que una vuelta son \( 2\pi \, \text{rad} \), así que:

\[
n = \frac{\theta}{2\pi} = \frac{439.83}{2\pi} \approx \frac{439.83}{6.2832} \approx 70.01
\]

📌 Respuesta b)
El disco da aproximadamente
\[
\boxed{70 \text{ vueltas}} \quad \text{en esos 7 segundos.}
\]

¡No está nada mal! Aunque esté frenando, todavía le queda energía de giro.

 

🅾️ c) ¿Cuánto tiempo tarda en detenerse desde ese instante?

Ya sabemos que después de 7 segundos, la velocidad angular era de \( \omega = 52.36 \, \text{rad/s} \).
Ahora nos preguntamos: si sigue frenando al mismo ritmo, cuánto tardará en parar por completo?

Lo hacemos fácil. Si sigue con esa aceleración angular constante:

\[
\omega_f = \omega_i + \alpha t
\]

Y ahora:
– \( \omega_f = 0 \, \text{rad/s} \) (porque se detiene),
– \( \omega_i = 52.36 \, \text{rad/s} \) (es la nueva velocidad),
– \( \alpha = -2.99 \, \text{rad/s}^2 \)

Sustituimos:

\[
0 = 52.36 + (-2.99)t
\]

\[
t = \frac{-52.36}{-2.99} \approx 17.51 \, \text{s}
\]

📌 Respuesta c)
Desde ese instante, tardará
\[
\boxed{17.51 \, \text{segundos}}
\]
en detenerse completamente.

 

🎓 Consejos del profe: los errores más comunes (y cómo evitarlos)

🧠 «¡Pero si 700 rpm es más que 500 rpm!»
Sí, pero recuerda: no puedes operar directamente con rpm, porque no están en unidades del Sistema Internacional. Siempre convierte a radianes por segundo. Es el primer paso del detective físico.

🧮 Olvidar el signo de la aceleración angular
Muchos estudiantes piensan que toda aceleración es positiva. Pero aquí el disco está frenando, así que la aceleración angular es negativa. No es un detalle menor: cambia todo el signo del segundo término en la fórmula de \( \theta \), ¡y podrías obtener que da menos vueltas de las reales!

🔁 Confundir radianes con vueltas
Este es clásico. El ángulo total girado te sale en radianes, pero si la pregunta pide vueltas, ¡divide por \( 2\pi \)! Recuerda que una vuelta completa equivale a \( 2\pi \) radianes.

⌛ Creer que el tiempo para detenerse es desde el principio
Ojo con esto: en la parte c), el tiempo empieza a contar después de los 7 segundos iniciales. Si te confundes, estarás calculando mal cuándo se para el disco.

💡 Consejo extra:
Este tipo de problemas son oro para entender el paralelismo entre movimiento lineal y angular. Si entiendes MRU y MRUA, el mundo del giro es solo darle una vuelta… literal.

[/bloquear]