Un disco de 130 cm de radio rueda sobre su borde a una velocidad de 14 m/s

a) ¿Cuál es su velocidad angular?

Nos dicen que el disco rueda con una velocidad de 14 m/s. Pero ojo, esa es la velocidad lineal en el borde.

Ahora bien, como estamos en un caso de movimiento circular, nos interesa calcular la velocidad angular, que nos dice cuántos radianes por segundo gira el disco.

Y aquí va la fórmula que usamos:

\[
v = \omega \cdot R
\]

La deducimos del hecho de que un punto en el borde recorre un arco de longitud \( s = R\theta \), así que si divides eso entre el tiempo, tienes:

\[
v = \frac{s}{t} = \frac{R\theta}{t} = R \cdot \omega
\]

Despejamos \( \omega \):

\[
\omega = \frac{v}{R}
\]

Convertimos el radio de 130 cm a metros:

[bloquear]

\[
R = 1.30\ \text{m}
\quad \text{y} \quad v = 14\ \text{m/s}
\]

Sustituimos:

\[
\omega = \frac{14}{1.30} \approx \boxed{10.77\ \text{rad/s}}
\]

 🔄 ¿Y en revoluciones por minuto (rpm)?

Sabemos que una revolución completa son \( 2\pi \) radianes. Así que para pasar de rad/s a rpm usamos:

\[
\text{rpm} = \frac{\omega}{2\pi} \cdot 60
\]

Sustituyendo:

\[
\text{rpm} = \frac{10.77}{6.2832} \cdot 60 \approx 102.85\ \text{rpm}
\]

🧠 El disco da unas 103 vueltas por minuto. Si eso fuera un tocadiscos… ¡pondría los vinilos a volar!

b) ¿Cuál es su aceleración normal?

Aquí hay algo que confunde a muchos:
Aunque el disco no cambie su velocidad en magnitud, sí tiene aceleración, porque la dirección de la velocidad está cambiando constantemente. Y eso, amigo/a, en física se llama aceleración normal o centrípeta.

La fórmula que usamos es:

\[
a_n = \frac{v^2}{R}
\]

Esta relación viene de cómo cambia el vector velocidad en una trayectoria curva. El módulo no cambia, pero la dirección sí, y esa curvatura implica aceleración hacia el centro.

Sustituimos:

\[
a_n = \frac{14^2}{1.30} = \frac{196}{1.30} \approx \boxed{150.77\ \text{m/s}^2}
\]

😮 Asómbrate un segundo:

Una aceleración de 150 m/s² es más de 15 veces la gravedad terrestre.
¿Te imaginas la fuerza que tiene que hacer el eje del disco para sostener esa tensión en cada punto del borde?
Esto es lo que ocurre en turbinas, motores, ruedas de trenes y discos de freno. Todo gira… pero bajo muchísima más fuerza de la que parece.

✅ Resultados finales:

– \( \omega \approx \boxed{10.77\ \text{rad/s}} \)
– \( \text{rpm} \approx \boxed{102.85\ \text{rpm}} \)
– \( a_n \approx \boxed{150.77\ \text{m/s}^2} \)

Gráfica de los vectores en el disco en rotación MCU

🟠 Vector velocidad angular

• ¿Qué representa?
  La velocidad angular nos dice a qué ritmo gira el disco.
  Se mide en radianes por segundo (rad/s).

• ¿Dónde se ubica y por qué?
  Este vector siempre se dibuja sobre el eje de giro del objeto, que en este caso es el centro del disco.
  Está perpendicular al plano de rotación (en este caso, apunta hacia arriba, eje Z).

• Sentido del vector:
  Se define usando la regla de la mano derecha: si enrollas los dedos en el sentido del giro, el pulgar señala la dirección del vector ω

• ¿Por qué no está en el borde?

• Porque no depende de un punto en particular, sino de cómo gira todo el sistema. Es una propiedad global del movimiento circular.

🔵 Vector velocidad lineal v

• ¿Qué representa?
  Indica cómo se mueve un punto concreto del borde del disco en cada instante.
  Aunque el disco gira, ese punto se mueve como si intentara ir en línea recta… pero algo lo “tira” hacia el centro.

• ¿Dónde se ubica?
  Sale desde un punto del borde del disco, y va en dirección tangente a la trayectoria circular.
  Esto es porque en cada instante, el movimiento del punto se parece al de una partícula moviéndose recto en esa dirección.

• Sentido del vector:
  Coincide con el sentido de giro del disco.

• ¿Por qué es tangente?
  Porque el punto quiere «escaparse» de la trayectoria en línea recta.
  Pero la aceleración normal (que ahora veremos) lo obliga a cambiar de dirección constantemente.

🟢 Vector aceleración normal o centrípeta a_n​

• ¿Qué representa?
  Aunque la velocidad del punto no cambia en magnitud, sí cambia de dirección todo el tiempo.
  Esa variación es una aceleración, y siempre apunta hacia el centro de la trayectoria.

• ¿Dónde se ubica?
  Parte desde el punto en el borde y apunta directamente al centro del disco. Se calcula con la fórmula
  \[
  a_n = \frac{v^2}{R}
  \]

• ¿Por qué es centrípeta?

  Porque siempre apunta hacia el centro (“centro” = “centrípeta”) y es la que mantiene al objeto girando en círculo.
  Si este vector desapareciera, el punto saldría disparado en línea recta siguiendo su velocidad tangencial.

🧠 Mini resumen final para recordar:

📚 Consejos del profe – errores comunes

🔸 No convertir el radio a metros. ¡Siempre en unidades del SI!
🔸 Usar mal las fórmulas: recuerda que \( v = \omega R \) y que la aceleración normal solo aparece en movimientos curvos.
🔸 Creer que si no hay cambio de velocidad, no hay aceleración. El MCU es el mejor ejemplo de lo contrario.
🔸 Confundir radianes con revoluciones. Son cosas distintas: 1 vuelta = \( 2\pi \) rad.

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