La velocidad inicial del proyectil es 30 m/s.
a) ¿cuál es la altura máxima que alcanza el proyectil y en cuánto tiempo la alcanza?
b) ¿cuál es el alcance total del proyectil?
michaelAprendiz
Se dispara un proyectil desde el nivel del suelo con un ángulo de 60º con respecto al suelo.
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Introducción
¡Vamos allá! Resolveremos uno de los problemas clásicos de movimiento en dos dimensiones: el disparo de un proyectil. Imagina que este proyectil es como un futbolista lanzando el balón hacia el cielo, pero con precisión matemática. Nuestro objetivo será analizar cómo vuela el proyectil para encontrar resultados clave como la altura máxima, el tiempo para alcanzarla y el alcance total. Confía en el proceso y vamos paso a paso, ¡esto va a ser emocionante!
Datos iniciales
Del enunciado tenemos:
– Velocidad inicial: v₀ = 30 m/s
– Ángulo inicial: θ = 60°
– Aceleración gravitatoria: g = 9.81 m/s²
Parte a): Altura máxima y tiempo para alcanzarla
Para empezar, la altura máxima se alcanza en el momento en que la velocidad vertical (vᵧ) del proyectil llega a 0 m/s. Este es el punto más alto de su trayectoria, donde deja de subir y comienza a bajar.
Paso 1: Calcular la componente vertical inicial de la velocidad (vᵧ₀)
La componente vertical se obtiene usando la fórmula:
vᵧ₀ = v₀ × sen(θ)
Sustituimos los valores:
vᵧ₀ = 30 × sen(60°)
Sabemos que sen(60°) ≈ 0.866:
vᵧ₀ = 30 × 0.866 = 25.98 m/s
Entonces, la velocidad inicial hacia arriba es vᵧ₀ ≈ 26.0 m/s (redondeamos a una sola cifra decimal).
Paso 2: Tiempo para alcanzar la altura máxima
La fórmula general de velocidad en el eje vertical es:
vᵧ = vᵧ₀ – g × t
En la altura máxima vᵧ = 0. Sustituyendo:
0 = 26.0 – 9.81 × t
9.81 × t = 26.0
t = 26.0 / 9.81
t ≈ 2.65 s
Por lo tanto, el proyectil alcanza la altura máxima en aproximadamente 2.65 segundos.
Paso 3: Calcular la altura máxima
La posición vertical se calcula con:
y = vᵧ₀ × t – (1/2) × g × t²
Sustituyendo los valores:
y = 26.0 × 2.65 – 0.5 × 9.81 × (2.65)²
y ≈ 68.90 – 34.48 = 34.42 m
La altura máxima alcanzada es aproximadamente 34.4 m.
Parte b): Alcance total
El alcance total es la distancia horizontal que recorre el proyectil antes de tocar nuevamente el suelo. Para esto necesitamos calcular primero el tiempo total de vuelo. Este tiempo se puede duplicar utilizando el tiempo que tarda el proyectil en alcanzar la altura máxima (2.65 s), ya que la subida y la bajada son simétricas.
Paso 1: Calcular el tiempo total de vuelo (tₜ)
tₜ = 2 × 2.65 = 5.30 s
Por lo tanto, el proyectil está en el aire durante 5.30 segundos.
Paso 2: Calcular la componente horizontal inicial de la velocidad (vₓ₀)
En el movimiento horizontal, la velocidad es constante. Su valor inicial es:
vₓ₀ = v₀ × cos(θ)
Sustituyendo:
vₓ₀ = 30 × cos(60°)
Sabemos que cos(60°) ≈ 0.5:
vₓ₀ = 30 × 0.5 = 15 m/s
Por lo tanto, la velocidad horizontal es vₓ₀ = 15 m/s.
Paso 3: Calcular el alcance
El alcance horizontal se calcula con:
x = vₓ₀ × tₜ
Sustituyendo valores:
x = 15 × 5.30
x = 79.5 m
El alcance total del proyectil es aproximadamente 79.5 metros.
Resultados finales
– Altura máxima: 34.4 m
– Tiempo para alcanzar la altura máxima: 2.65 s
– Tiempo total de vuelo: 5.30 s
– Alcance total: 79.5 m
Consejos del profe
Este tipo de problemas puede parecer un poco confuso al principio, ¡pero no te preocupes! Aquí te dejo algunos errores comunes y trucos para evitarlos:
1. Olvidar dividir la velocidad inicial en sus componentes (vₓ₀ y vᵧ₀):
No puedes usar directamente la velocidad total (v₀) para calcular cosas como altura máxima o alcance. Divide siempre la velocidad en sus dos componentes; es crucial.
2. Confundir sen(θ) y cos(θ):
Recuerda: la componente vertical usa el seno del ángulo, mientras que la componente horizontal usa el coseno. Un truco es asociar «vertical» con «subida» (más como un balanceo, de donde proviene seno).
3. No usar el tiempo correcto:
La altura máxima usa el tiempo hasta ese punto, pero para el alcance necesitas el tiempo total. No te apresures, cada tiempo tiene su contexto.
4. Omitir unidades:
Siempre incluye unidades (m/s, m, s, etc.). Si las pierdes, puedes confundirte o cometer errores en los cálculos.
5. Errores con redondeos:
Si redondeas demasiado pronto, puedes obtener resultados erróneos en los pasos finales. Intenta redondear solo cuando entregues el resultado final.
Espero que esta explicación te haya ayudado a entender mejor el movimiento de proyectiles. Si lo practicas un par de veces, ¡te saldrá como un paseo por el parque! 😊