Una particula que sigue un movimiento rectilíneo recorre 7 metros antes de empezar a contar el tiempo

Vamos paso por paso. Trae tu cuaderno, lápiz afilado y sobre todo… tu curiosidad 🧪✨

 ✅ a) Ecuación de la velocidad y posición

Nos dan una aceleración dependiente del tiempo:

\[
a(t) = 3t^2 – 1
\]

Paso 1: Integrar la aceleración para obtener la velocidad

Sabemos que:

\[
a(t) = \frac{dv}{dt}
\Rightarrow v(t) = \int a(t) \, dt
\]

Integramos:

\[
v(t) = \int (3t^2 – 1) \, dt = t^3 – t + C_1
\]

Donde \( C_1 \) es la constante de integración. La encontramos con el dato que nos da el enunciado:

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> cuando \( t = 2 \, \text{s} \), la velocidad es \( v = 4 \, \text{m/s} \)

\[
v(2) = 2^3 – 2 + C_1 = 8 – 2 + C_1 = 6 + C_1 = 4
\Rightarrow C_1 = -2
\]

Entonces, la ecuación de la velocidad es:

\[
\boxed{v(t) = t^3 – t – 2}
\]

✨ La velocidad tiene un crecimiento cúbico, pero también cae por ese término lineal. ¡Un movimiento más complejo de lo que parecía!

 

Paso 2: Integrar la velocidad para obtener la posición

\[
v(t) = \frac{dx}{dt}
\Rightarrow x(t) = \int v(t) \, dt = \int (t^3 – t – 2) \, dt
\]

\[
x(t) = \frac{t^4}{4} – \frac{t^2}{2} – 2t + C_2
\]

Ahora viene un detalle sutil pero clave:

> La partícula había recorrido  7 m antes de que empezáramos a contar el tiempo.
> Es decir, cuando \( t = 0 \), ya está en la posición \( x_0 = 7 \, \text{m} \)

Sustituimos para hallar \( C_2 \):

\[
x(0) = \frac{0^4}{4} – \frac{0^2}{2} – 2\cdot 0 + C_2 = 7
\Rightarrow C_2 = 7
\]

Y la ecuación de la posición es:

\[
\boxed{x(t) = \frac{t^4}{4} – \frac{t^2}{2} – 2t + 7}
\]

 

✅ b) Velocidad media entre \( t = 2 \, \text{s} \) y \( t = 4 \, \text{s} \)

La velocidad media se define como:

\[
v_{\text{media}} = \frac{x(4) – x(2)}{4 – 2}
\]

Vamos a calcular \( x(4) \) y \( x(2) \) con nuestra ecuación:

Para \( t = 4 \):

\[
x(4) = \frac{4^4}{4} – \frac{4^2}{2} – 2\cdot 4 + 7 = \frac{256}{4} – \frac{16}{2} – 8 + 7 = 64 – 8 – 8 + 7 = 55 \, \text{m}
\]

Para \( t = 2 \):

\[
x(2) = \frac{2^4}{4} – \frac{2^2}{2} – 2\cdot 2 + 7 = \frac{16}{4} – \frac{4}{2} – 4 + 7 = 4 – 2 – 4 + 7 = 5 \, \text{m}
\]

\[
v_{\text{media}} = \frac{55 – 5}{2} = \frac{50}{2} = \boxed{25 \, \text{m/s}}
\]

🧨 Aunque en \( t=2 \) la velocidad era apenas 4 m/s, la velocidad media es 25 m/s. ¿Qué está pasando?
¡La aceleración crece mucho con el tiempo! Y eso empuja a la partícula cada vez más rápido… como si fuera cuesta abajo en una montaña rusa.

 

✅ c) Distancia al origen cuando \( t = 7 \, \text{s} \)

La posición en ese instante será:

\[
x(7) = \frac{7^4}{4} – \frac{7^2}{2} – 2\cdot 7 + 7
\]

Calculamos paso a paso:

\[
7^4 = 2401,\quad \frac{2401}{4} = 600.25
\quad 7^2 = 49,\quad \frac{49}{2} = 24.5
\quad -2\cdot 7 = -14
\]

\[
x(7) = 600.25 – 24.5 – 14 + 7 = 568.75 \, \text{m}
\]

🔎 Entonces, la distancia al origen (es decir, al punto 0) es:

\[
\boxed{568.75 \, \text{m}}
\]

Resuelto!

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Estudio de las gráficas

📈 Interpretando la gráfica de \( a(t) = 3t^2 – 1 \)

Esta no es una línea recta. ¡Es una parábola creciente! Observa lo siguiente:

🔍 1. Aceleración negativa al inicio

Cuando \( t = 0 \):

\[
a(0) = 3(0)^2 – 1 = -1 \, \text{m/s}^2
\]

💡 Eso significa que al inicio, la partícula frena ligeramente. La aceleración es contraria al movimiento

 

🚦 2. Aceleración nula en \( t = \sqrt{\frac{1}{3}} \approx 0.577 \, \text{s} \)

Este es el punto de cambio:
\[
3t^2 – 1 = 0 \Rightarrow t = \sqrt{\frac{1}{3}} \approx 0.577 \, \text{s}
\]

🔁 Aquí la aceleración se vuelve cero. La partícula deja de frenar y empieza a acelerar hacia delante.

🧨 3. Aceleración positiva y creciente

A partir de ahí…

– En \( t = 1 \, \text{s} \): \( a(1) = 2 \, \text{m/s}^2 \)
– En \( t = 2 \, \text{s} \): \( a(2) = 11 \, \text{m/s}^2 \)
– En \( t = 4 \, \text{s} \): \( a(4) = 47 \, \text{m/s}^2 \)
– En \( t = 7 \, \text{s} \): \( a(7) = 146 \, \text{m/s}^2 \)

🔥  La aceleración se dispara como un cohete. La partícula pasa de frenar a acelerar cada vez más rápido.

 

🧠 ¿Qué debe entender?

1. La aceleración no es constante: aquí no podemos usar fórmulas del tipo \( v = v_0 + at \).
Estamos ante un caso de aceleración variable dependiente del tiempo.
Por eso, integramos, no aplicamos fórmulas rápidas.

2. El signo importa:
– Cuando la aceleración es negativa → frena.
– Cuando es positiva → acelera en la dirección del movimiento.

3. Esto representa un fenómeno realista:
Imagina un cohete o un coche con un motor que aumenta su empuje con el tiempo: cada segundo que pasa, acelera más fuerte.

 

 📉 Gráfica de la velocidad: \( v(t) = t^3 – t – 2 \)

Esta curva nos revela un comportamiento no lineal, pero con una historia bastante curiosa.

🧠 ¿Qué observamos?

– Inicio negativo:
En \( t = 0 \), la velocidad es:

\[
v(0) = 0^3 – 0 – 2 = -2 \, \text{m/s}
\]

Es decir, la partícula empieza moviéndose hacia atrás, ¡aunque ya había recorrido 7 m!

– Cambia de sentido:
La velocidad cruza el eje horizontal (se vuelve positiva) en torno a \( t \approx 1.6 \, \text{s} \).

– Crecimiento explosivo:
A partir de ese punto, la velocidad aumenta rápidamente por efecto de la aceleración creciente.

⚠️ Este tipo de gráfica deja claro que no podemos aplicar fórmulas de MRU o MRUA, ¡esto es pura integración y razonamiento!

 

🟢 Gráfica de la posición: \( x(t) = \frac{t^4}{4} – \frac{t^2}{2} – 2t + 7 \)

Aquí es donde vemos la huella del camino recorrido

🔍 ¿Qué detalles hay?

– Empieza en 7 metros:
Exactamente como decía el enunciado. Eso lo marcamos con \( x(0) = 7 \, \text{m} \).
👉 Muchos estudiantes lo olvidan, pero tú no, porque ahora sabes por qué es crucial.

– Cae al principio:
Fíjate que al principio la posición disminuye ligeramente.
¿Por qué? Porque la partícula tenía una velocidad negativa al inicio.

– Mínimo y luego crecimiento:
Después de un punto bajo, ¡la posición despega como un cohete!
El motor de la aceleración hace lo suyo y la partícula comienza a avanzar con fuerza creciente.

 

 Errores comunes y frecuentes en este tipo de ejercicios (¡que no te pasen a ti!)

❌ 1. Olvidar el valor de la posición inicial

> En el enunciado se dice que la partícula ya había recorrido 7 metros antes de que empezáramos a contar el tiempo.

💡 Muchos estudiantes leen esto y… lo ignoran. ¡Grave error!

Si tú pones:
\[
x(t) = \frac{t^4}{4} – \frac{t^2}{2} – 2t + C
\quad \text{y luego dices que } x(0) = 0
\]
has eliminado de un plumazo el contexto del problema.

👉 ¡La posición inicial es \( x_0 = 7 \, \text{m} \) y se coloca en la constante \( C \) al integrar la velocidad.

> 📢 Consejo del profe: cuando veas frases como
> _“la partícula había recorrido tantos metros antes…”_
> activa la alarma de posición inicial no trivial 🔔

 

❌ 2. Pensar que la aceleración es constante

Cuando ves la palabra “aceleración”, el cerebro salta a lo que te han enseñado mil veces:

\[
v = v_0 + at \quad \text{y} \quad x = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2}at^2
\]

🚫 ¡Pero aquí no! Este problema tiene una aceleración que cambia con el tiempo:

\[
a(t) = 3t^2 – 1
\]

Eso quiere decir que necesitas integrar, no aplicar fórmulas directas de MRUA. Si las aplicas, estarás resolviendo otro problema completamente distinto.

> 📢 Consejo del profe: Si ves que la aceleración depende de \( t \), guarda las fórmulas de memoria en la mochila y saca la integral.

 

❌ 3. No usar los datos dados correctamente para calcular las constantes

Cuando integras, aparecen constantes de integración. Muchos estudiantes las dejan en el aire o suponen que son cero.

Pero aquí te dicen:

> “cuando \( t = 2 \), la velocidad es 4 m/s”

👉 Este dato es oro puro para calcular la constante de la velocidad.

Si no la usas, tendrás una ecuación incompleta, y todos los resultados posteriores estarán mal. Es como empezar un camino con el pie izquierdo… pero torcido.

 

❌ 4. Confundir velocidad media con velocidad en un punto

Te preguntan:

> “¿Cuál es la velocidad media entre \( t=2 \) y \( t=4 \)?”

Y algunos contestan:

\[
v(3) \quad \text{o peor aún} \quad \frac{v(2) + v(4)}{2}
\]

🚨 ERROR.

La velocidad media no es eso. Se calcula con la posición:

\[
v_{\text{media}} = \frac{x(4) – x(2)}{4 – 2}
\]

No uses la fórmula de promedio aritmético salvo que el movimiento sea uniforme (¡y este no lo es!).

 

❌ 5. No interpretar los signos de la velocidad y la aceleración

Cuando \( v(t) < 0 \), la partícula va hacia atrás.
Cuando \( a(t) < 0 \), la partícula está frenando si el movimiento es positivo.

🧠 Pero algunos no piensan en el significado físico de esos signos. Solo hacen cuentas.

Y eso te impide entender lo más bonito de la física: leer la historia del movimiento.

 

❌ 6. No comprobar si los resultados tienen sentido

Si obtienes que la partícula está a más de 500 metros en el segundo 7, y tu velocidad media era de 25 m/s… ¿no te da curiosidad?

🎯 Comprueba siempre que los números encajan con el sentido físico. Que tengan lógica. La física es matemática con alma.

 

✅ En resumen: lo que te pido como profe es…

– 🧠 Piensa con cabeza antes de disparar con fórmulas.
– 🕵️‍♂️ Lee el enunciado como un detective buscando pistas.
– 🧰 No uses herramientas automáticas (como \( x = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2}at^2 \)) cuando el problema te pide más.
– ✍️ Integra con sentido: las constantes no son opcionales, ¡se ganan con datos!
– 🧭 Dale sentido a tus respuestas. Mira los gráficos, piensa qué ocurre con la partícula, y si algo no cuadra… ¡pregunta!

 

💬 ¿Y tú qué opinas?

– ¿Cómo crees que cambiaría el movimiento si en vez de aceleración dependiente del tiempo, dependiera de la posición?
– ¿Crees que la velocidad media puede ser menor que la velocidad en uno de los extremos?

Te leo en comentarios!