La fórmula de posición de una partícula que se mueve en trayectoria rectilínea

Paso 1: La ecuación de la velocidad

📌 Concepto clave:
La velocidad es la derivada de la posición con respecto al tiempo:

\[
v(t) = \frac{dx}{dt}
\]

Derivamos la ecuación de la posición:

\[
v(t) = \frac{d}{dt} (7t^3 – 2t^2 + 3t – 1)
\]

Aplicamos las reglas de derivación:

\[
v(t) = 21t^2 – 4t + 3
\]

\[
v(t) = 21t^2 – 4t + 3
\]

Esta ecuación nos dice qué tan rápido se mueve la partícula en cada instante \( t \) y si está acelerando o desacelerando. ¡Ya tenemos la primera parte del enigma! 🧐

Paso 2: La ecuación de la aceleración

📌 Concepto clave:
La aceleración es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo:

\[
a(t) = \frac{dv}{dt}
\]

Derivamos la ecuación de la velocidad:

\[
a(t) = \frac{d}{dt} (21t^2 – 4t + 3)
\]

Aplicamos las reglas de derivación:

\[
a(t) = 42t – 4
\]

\[
a(t) = 42t – 4
\]

Esto nos dice cómo cambia la velocidad de la partícula en cada instante. Observa que la aceleración no es constante: depende del tiempo. Si \( t \) aumenta, la aceleración crece, lo que sugiere que la partícula sigue acelerando cada vez más rápido. 🚀

Paso 3: Espacio recorrido cuando \( t = 3 \) segundos

📌 Cuidado!
El espacio recorrido no es lo mismo que la distancia entre la posición inicial y final. Debemos calcular la longitud total de la trayectoria, lo que implica integrar la rapidez \( |v(t)| \).

El espacio recorrido se obtiene integrando la rapidez \( |v(t)| \) entre \( t = 0 \) y \( t = 3 \):

\[
s = \int_0^3 |v(t)| \, dt
\]

📌 Paso 3.1: Analicemos si la velocidad cambia de signo

Si \( v(t) \) cambia de signo en el intervalo \( [0,3] \), significa que la partícula cambia de dirección en algún momento y debemos partir la integral. Buscamos los instantes en los que \( v(t) = 0 \):

\[
21t^2 – 4t + 3 = 0
\]

Resolvemos con la fórmula cuadrática:

\[
t = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 – 4(21)(3)}}{2(21)}
\]

\[
t = \frac{4 \pm \sqrt{16 – 252}}{42}
\]

\[
t = \frac{4 \pm \sqrt{-236}}{42}
\]

Como el discriminante es negativo, no hay raíces reales. Entonces, la velocidad no se anula en el intervalo, por lo que la partícula no cambia de dirección y podemos integrar \( v(t) \) directamente.

📌 Paso 3.2: Calculamos la integral

\[
s = \int_0^3 (21t^2 – 4t + 3) \, dt
\]

\[
s = \left[ 7t^3 – 2t^2 + 3t \right]_0^3
\]

Evaluamos en \( t = 3 \):

\[
s(3) = 7(3)^3 – 2(3)^2 + 3(3)
\]

\[
s(3) = 7(27) – 2(9) + 9
\]

\[
s(3) = 189 – 18 + 9
\]

\[
s(3) = 180
\]

Evaluamos en \( t = 0 \):

\[
s(0) = 7(0)^3 – 2(0)^2 + 3(0) = 0
\]

Por lo tanto:

\[
s = 180 – 0
\]

\[
s = 180 \text{ m}
\]

La partícula ha recorrido180 metros en los primeros 3 segundos.

📌 Curiosidad: Si siguiéramos avanzando en el tiempo, ¿hasta qué velocidad llegaría la partícula? ¿Podría haber un instante donde se detuviera? 🤔

 

Análisis de las Gráficas: ¿Qué nos cuentan sobre el movimiento de la partícula?

Hemos representado posición \( x(t) \), velocidad \( v(t) \) y aceleración \( a(t) \) en función del tiempo en el intervalo \( t \in [0,3] \). Ahora, vamos a interpretar lo que nos dicen.

 

1️⃣ Gráfica de Posición \( x(t) \) (azul)

– La curva es una función cúbica, lo que nos indica que el movimiento es acelerado de manera no uniforme.
– La partícula comienza en \( x(0) = -1 \) y su posición aumenta rápidamente a medida que pasa el tiempo.
– La pendiente de la curva representa la velocidad, por lo que vemos que al inicio es más suave y luego se hace más inclinada (indicando un aumento de velocidad).

✅ Conclusión: La partícula empieza con un movimiento lento y luego se acelera progresivamente, cubriendo más distancia en menos tiempo.

 

2️⃣ Gráfica de Velocidad \( v(t) \) (roja)

– La velocidad sigue una parábola (\( 21t^2 – 4t + 3 \)), lo que significa que la velocidad no cambia de manera constante sino que acelera cada vez más rápido.
– La velocidad es siempre positiva, lo que indica que la partícula nunca cambia de dirección en el intervalo dado.
– En \( t = 0 \), la velocidad comienza en \( v(0) = 3 \), lo que significa que la partícula ya tenía una velocidad inicial.
– Para valores de \( t \) grandes, la velocidad aumenta fuertemente.

✅ Conclusión: La partícula nunca se detiene ni cambia de dirección, solo sigue aumentando su velocidad debido a la aceleración.

 

3️⃣ Gráfica de Aceleración \( a(t) \) (verde)

– La aceleración es una función lineal (\( 42t – 4 \)), lo que nos indica que aumenta constantemente con el tiempo.
– En \( t = 0 \), la aceleración es \( a(0) = -4 \), lo que sugiere que al inicio hay una pequeña desaceleración, pero luego crece rápidamente.
– A medida que \( t \) aumenta, la aceleración se vuelve positiva y cada vez mayor, lo que provoca que la velocidad aumente más rápidamente con el tiempo.

✅ Conclusión: La partícula primero experimenta una pequeña resistencia (aceleración negativa), pero después empieza a acelerar más y más**. Esto explica por qué la curva de posición se vuelve más inclinada y la velocidad crece rápidamente.

 

Errores Comunes en este Tipo de Ejercicios (¡Que No Te Pasen a Ti!) 🚨

Este tipo de problemas de cinemática parecen simples, pero es muy fácil cometer errores si no se presta atención a los detalles. Aquí te voy a mostrar los fallos más comunes que suelen cometer los estudiantes y cómo evitarlos. Así que lee con atención, porque estos errores pueden costarte puntos en un examen. ¡No dejes que te pase a ti! 🚀

 

1️⃣ Confundir posición con espacio recorrido

📌 Error:
Muchos estudiantes piensan que la diferencia entre \( x(t) \) en dos instantes es el espacio recorrido. ¡Error! Eso solo te da el desplazamiento, que es la diferencia entre la posición final e inicial, pero el espacio recorrido es la longitud total del camino.

✅ Corrección:
El espacio recorrido se obtiene integrando la rapidez \( |v(t)| \), no simplemente restando posiciones.

💡 Ejemplo de error típico:
Si calculas el espacio recorrido a \( t = 3 \) como:

\[
s = x(3) – x(0)
\]

Eso es incorrecto. Lo correcto es integrar la rapidez:

\[
s = \int_0^3 |v(t)| dt
\]

 

2️⃣ Olvidar que la rapidez es el módulo de la velocidad

📌 Error:
Algunos estudiantes creen que pueden integrar \( v(t) \) directamente para calcular el espacio recorrido sin verificar si hay cambios de signo en la velocidad.

✅ Corrección:
Si \( v(t) \) cambia de signo (es decir, si la partícula cambia de dirección), no puedes integrar directamente \( v(t) \) porque la rapidez es siempre positiva. Primero debes encontrar los puntos donde \( v(t) = 0 \) y dividir la integral en partes.

💡 Ejemplo de error típico:
Si \( v(t) \) cambia de positivo a negativo y simplemente integras, estás restando distancias en lugar de sumarlas.

 

3️⃣ Derivar mal la ecuación de posición

📌 Error:
Muchos estudiantes cometen errores al derivar \( x(t) \) para obtener \( v(t) \), especialmente con exponentes.

✅ Corrección:
Recuerda que la derivada de \( t^n \) es:

\[
\frac{d}{dt} t^n = n t^{n-1}
\]

💡 Ejemplo de error típico:
Si \( x(t) = 7t^3 – 2t^2 + 3t – 1 \), entonces la velocidad es:

\[
v(t) = \frac{d}{dt} (7t^3 – 2t^2 + 3t – 1)
\]

\[
v(t) = 21t^2 – 4t + 3
\]

Pero un error común es derivar mal y obtener algo como \( v(t) = 7t^2 – 2t + 3 \), lo cual es incorrecto. ¡Mucho cuidado con los coeficientes!

 

4️⃣ No entender el significado físico de la aceleración

📌 Error:
Algunos piensan que si la aceleración es negativa significa que la partícula siempre se está deteniendo.

✅ Corrección:
Una aceleración negativa no siempre significa que la velocidad está disminuyendo. Puede significar que la partícula está acelerando en sentido negativo (hacia atrás).

💡 Ejemplo de error típico:
Si la aceleración es \( a(t) = 42t – 4 \), algunos dicen que la partícula siempre está desacelerando. ¡Pero no! En \( t > \frac{4}{42} \), la aceleración se vuelve positiva, lo que significa que la partícula empieza a acelerar más rápidamente en la dirección positiva.

Vamos a explicar esto con calma y con un ejemplo real para que lo entiendas perfectamente.

Ejemplo 1: Un Coche Frenando en un Semáforo 🚗

Imagina que estás conduciendo un coche a 30 m/s y ves un semáforo en rojo. Inmediatamente pisas el freno, haciendo que la velocidad disminuya poco a poco hasta llegar a 0 m/s.

🔹 Aquí la aceleración es negativa porque estás perdiendo velocidad. En este caso, sí es una desaceleración.

📌Cuando la velocidad y la aceleración tienen signos opuestos, el objeto se está frenando.

 

Ejemplo 2: Un Coche Marcha Atrás con Aceleración Negativa

Ahora imagina otra situación:
🚗 Estás en reversa y vas a \( v = -10 \) m/s (negativo porque vas hacia atrás). Pero en lugar de frenar, aceleras aún más marcha atrás.

🔹 Aquí la aceleración también es negativa, pero en este caso, el coche no se está deteniendo, sino que se está moviendo cada vez más rápido hacia atrás.

📌 Cuando la velocidad y la aceleración tienen el mismo signo, el objeto está ganando velocidad en esa dirección.

Aplicado a Nuestro Problema: \( a(t) = 42t – 4 \)

En nuestro ejercicio, la aceleración es:

\[
a(t) = 42t – 4
\]

📌 Paso 1: Analicemos el signo de la aceleración
– Si \( t = 0 \):

\[
a(0) = 42(0) – 4 = -4 \, \text{m/s}^2
\]

Es negativa, lo que significa que al inicio, hay una resistencia al movimiento.

– Si \( t = 3 \):

\[
a(3) = 42(3) – 4 = 126 – 4 = 122 \, \text{m/s}^2
\]

Es positiva, lo que significa que ahora la partícula está acelerando cada vez más rápido en dirección positiva.

📌 Paso 2: ¿Cuándo cambia de negativa a positiva?
Buscamos cuando \( a(t) = 0 \):

\[
42t – 4 = 0
\]

\[
t = \frac{4}{42} = 0.095 \, \text{segundos}
\]

Esto nos dice que antes de \( t = 0.095 \) s, la aceleración es negativa (oponiéndose al movimiento). Pero después de ese instante, la aceleración es positiva, haciendo que la partícula se acelere en la dirección positiva.

🔹 Conclusión:
– Para \( t < 0.095 \) s, la aceleración es negativa, lo que indica una pequeña resistencia inicial.
– Para \( t > 0.095 \) s, la aceleración se vuelve positiva y la partícula empieza a moverse cada vez más rápido en la dirección positiva.

Esto demuestra que una aceleración negativa no siempre significa que la velocidad disminuye, sino que depende de en qué dirección se mueve el objeto y en qué momento lo analizamos.

Regla General: ¿Qué Significa el Signo de la Aceleración?

– Si \( v \) y \( a \) tienen signos opuestos → La partícula se está frenando.
– Si \( v \) y \( a \) tienen el mismo signo → La partícula se está acelerando en esa dirección.

 

5️⃣ Olvidar las unidades en los resultados

📌 Error:
Un clásico: escribir el número correcto pero sin indicar las unidades.

✅ Corrección:
En física, un número sin unidades no tiene sentido. Siempre verifica que tus respuestas tengan unidades correctas.

💡 Ejemplo de error típico:
Si calculaste el espacio recorrido y te dio 180, pero no pones «m» al final, perdiste información importante. La respuesta completa es **180 metros (m)**.

 

6️⃣ No interpretar las gráficas correctamente

📌 Error:
Muchos estudiantes ven las gráficas de posición, velocidad y aceleración pero no saben cómo relacionarlas.

✅ Corrección:
– La pendiente de la gráfica de posición es la velocidad.
– La pendiente de la gráfica de velocidad es la aceleración.
– Si la velocidad es positiva, la partícula se mueve hacia adelante. Si es negativa, se mueve hacia atrás.
– Si la aceleración es positiva, la velocidad está aumentando. Si es negativa, la velocidad está disminuyendo.

💡 Ejemplo de error típico:
Si ves que la aceleración es negativa en \( t = 0 \), no significa que la partícula se esté deteniendo; puede estar ganando velocidad en dirección negativa.

 

Ahora que conoces estos errores, estás listo para enfrentarte a este tipo de problemas sin miedo! 🚀