Controles
Guía Rápida del Simulador
🎯 Objetivo de la Simulación
Este simulador te permite ver el "ADN geométrico" de las funciones complejas, mostrando cómo deforman el plano y qué significa realmente su derivada.
1️⃣ Mapeo de Figuras y Regiones
Las funciones complejas $f(z)$ transforman tanto curvas (fronteras) como áreas (interiores). Usa los selectores "Mapear Figura" y "Mapear Región" para ver cómo se deforman.
La nueva opción Curva Paramétrica te permite definir tus propias curvas usando un parámetro $t$.
2️⃣ Ejemplos de Curvas Paramétricas
Selecciona "Mapear Figura" > "Curva Paramétrica" e introduce estas expresiones para $z(t)$:
- Cardioide:
2*(1-cos(t)) * (cos(t) + i*sin(t))con $t \in [0, 2\pi \approx 6.28]$ - Espiral Logarítmica:
t * exp(i*t)con $t \in [0, 8\pi \approx 25.13]$ - Línea "ondulada":
t + i*sin(5*t)con $t \in [-4, 4]$
3️⃣ Fronteras, Interiores y Dominios
Puedes mapear una figura (la frontera) y una región (el interior) a la vez para ver un concepto clave: las funciones analíticas mapean fronteras a fronteras e interiores a interiores.
Un dominio es un conjunto abierto y conexo. La mayoría de regiones que puedes mapear son dominios. Si una función es analítica (holomorfa) en un dominio, significa que es derivable en cada punto de él, lo que garantiza una transformación "suave" sin roturas.
4️⃣ Funciones Multivaluadas y Ramas
Funciones como $\log(z)$ o $\sqrt{z}$ tienen múltiples resultados posibles para una sola entrada $z$. Cada posible conjunto de resultados pertenece a una "rama". Geométricamente, puedes imaginar que apilamos infinitos planos (para $\log z$) o dos planos (para $\sqrt{z}$), llamados Superficie de Riemann, y la función mapea cada plano a una zona diferente del plano W.
Al seleccionar una de estas funciones, aparecerá el panel "Control de Ramas". Puedes introducir un entero $k$ para visualizar cada rama. El corte de rama (una línea roja discontinua) te muestra dónde ocurre la discontinuidad.
5️⃣ La Derivada y la Analiticidad
La derivada $f'(z_0)$ nos dice cómo se estira y rota el plano justo en el punto $z_0$.
Una función es analítica (u holomorfa) en un punto si es derivable no solo en ese punto, sino en un pequeño vecindario a su alrededor. Todas las funciones de este simulador (excepto las personalizadas) son analíticas en casi todos los puntos. La prueba visual es que el círculo amarillo siempre se transforma en un círculo perfecto (es una transformación conforme).